试题

已知：如图，直线y=-x+12分别交x轴、y轴于A、B点，将△AOB折叠，使A点恰好落在OB的中点C处，折痕为DE．
（1）求AE的长及sin∠BEC的值；
（2）求△CDE的面积．

解：作CF⊥BE于F点，由函数解析式可得点B（0，12），点A（12，0），∠A=∠B=45°，

又∵点C是OB中点，
∴OC=BC=6，CF=BF=3

2

，
设AE=CE=x，则EF=AB-BF-AE=12

2

-3

2

-x=9

2

-x，
在RT△CEF中，CE²=CF²+EF²，即x²=（9

2

-x）²+（3

2

）²，
解得：x=5

2

，
故可得sin∠BEC=

CF

CE

=

3

5

，AE=5

2

；

（2）过点E作EM⊥OA于点M，

则S_△CDE=S_△AED=

1

2

AD·EM=

1

2

AD×AEsin∠EAM=

1

2

AD·AE×sin45°=

2

4

AD×AE，
设AD=y，则CD=y，OD=12-y，
在RT△OCD中，OC²+OD²=CD²，即6²+（12-y）²=y²，
解得：y=

15

2

，即AD=

15

2

，
故S_△CDE=S_△AED=

2

4

AD×AE=

75

4

．
解：作CF⊥BE于F点，由函数解析式可得点B（0，12），点A（12，0），∠A=∠B=45°，

又∵点C是OB中点，
∴OC=BC=6，CF=BF=3

2

，
设AE=CE=x，则EF=AB-BF-AE=12

2

-3

2

-x=9

2

-x，
在RT△CEF中，CE²=CF²+EF²，即x²=（9

2

-x）²+（3

2

）²，
解得：x=5

2

，
故可得sin∠BEC=

CF

CE

=

3

5

，AE=5

2

；

（2）过点E作EM⊥OA于点M，

则S_△CDE=S_△AED=

1

2

AD·EM=

1

2

AD×AEsin∠EAM=

1

2

AD·AE×sin45°=

2

4

AD×AE，
设AD=y，则CD=y，OD=12-y，
在RT△OCD中，OC²+OD²=CD²，即6²+（12-y）²=y²，
解得：y=

15

2

，即AD=

15

2

，
故S_△CDE=S_△AED=

2

4

AD×AE=

75

4

．