试题

如图，在平面直角坐标系内，直线AB分别与x轴、y轴交于B、A两点，且OB=2OA，S_△ABO=16．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若以OA为一边作如图所示的正方形AOCD，CD交AB于点P，问在x轴上是否存在一点Q，使以P、C、Q为顶点的三角形与△ADP相似？若存在，求点Q坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）∵OB=2OA，S_△ABO=16，
∴

1

2

OA×OB=16，
∴

1

2

×OA×2OA=16，
∴OA=4，OB=8，
即A（0，4）B（-8，0），
设直线AB的解析式是y=kx+b，
代入得：

4=b 0=-8k+b

，
解得：k=

1

2

，
故直线AB的解析式是y=

1

2

x+4；

（2）在x轴上存在一点Q，使以P、C、Q为顶点的三角形与△ADP相似，
理由是：∵四边形ADCO是正方形，A（0，4），
∴∠D=∠DC0=90°=∠PCB，AD∥OC，AD=OC=DC=OA=4，
∴BC=4=AD，
∵AD∥OC，
∴∠DAP=∠CBP，
在△ADP和△BCP中，
∵

∠D=∠PCB AD=BC ∠DAP=∠CBP

，
∴△ADP≌△BCP（ASA），
∴DP=CP=2，
∵Q在x轴上，
∴以P、C、Q为顶点的三角形与△ADP相似，
首先有∠ADP=∠PDQ=90°，
故只有当具备条件

AD

DP

=

PC

CQ

或

AD

DP

=

CQ

PC

时，两三角形就相似，
即

4

2

=

2

CQ

或

4

2

=

CQ

2

，
解得：CQ=1或CQ=4，
即符合条件的点有4个：当CQ=1时，点Q的坐标是（-3，0）或（-1，0）；
当CQ=4时，点Q的坐标是（-6，0）或（2，0）．
解：（1）∵OB=2OA，S_△ABO=16，
∴

1

2

OA×OB=16，
∴

1

2

×OA×2OA=16，
∴OA=4，OB=8，
即A（0，4）B（-8，0），
设直线AB的解析式是y=kx+b，
代入得：

4=b 0=-8k+b

，
解得：k=

1

2

，
故直线AB的解析式是y=

1

2

x+4；

（2）在x轴上存在一点Q，使以P、C、Q为顶点的三角形与△ADP相似，
理由是：∵四边形ADCO是正方形，A（0，4），
∴∠D=∠DC0=90°=∠PCB，AD∥OC，AD=OC=DC=OA=4，
∴BC=4=AD，
∵AD∥OC，
∴∠DAP=∠CBP，
在△ADP和△BCP中，
∵

∠D=∠PCB AD=BC ∠DAP=∠CBP

，
∴△ADP≌△BCP（ASA），
∴DP=CP=2，
∵Q在x轴上，
∴以P、C、Q为顶点的三角形与△ADP相似，
首先有∠ADP=∠PDQ=90°，
故只有当具备条件

AD

DP

=

PC

CQ

或

AD

DP

=

CQ

PC

时，两三角形就相似，
即

4

2

=

2

CQ

或

4

2

=

CQ

2

，
解得：CQ=1或CQ=4，
即符合条件的点有4个：当CQ=1时，点Q的坐标是（-3，0）或（-1，0）；
当CQ=4时，点Q的坐标是（-6，0）或（2，0）．