试题

实践探究题：
（1）如图1，在直角坐标系中，一个直角边为4等腰直角三角形板ABC的直角顶点B放至点O的位置，点A、C分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△ABC绕点A逆时针旋转90°至△AKL的位置，求直线AL的解析式；
（2）如图2，将任意两个等腰直角三角板△ABC和△MNP放至直角坐标系中，直角顶点B、N分别在y轴的正半轴和负半轴上，顶点M、A都在x轴的负半轴上，顶点C、P分别在第二象限和第三象限，AC和MP的中点分别为E、F，请判断△OEF的形状，并证明你的结论；
（3）如图3，将第（1）问中的等腰直角三角形板ABC顺时针旋转180°至△OMN的位置．G为线段OC的延长线上任意一点，作GH⊥AG交x轴于H，并交直线MN于Q．请探究下面两个结论：①

GN+GC

NQ

为定值；②

GN-GC

NQ

为定值．其中只有一个是正确的，请判断正确的结论，并求出其值．

解：（1）A的坐标是：（-4，0），L的坐标是（-8，4），设直线AL的解析式是：y=kx+b，
则

-4k+b=0 -8k+b=4

，
解得：

k=-1 b=-4

，
则直线AL的解析式为：y=-x-4；

（2）△OEF是直角三角形．
证明：连BE，则BE⊥AC，且BE=AE． 
过E作EG⊥x轴于G，过E作EH⊥y轴于H．
则△AEG≌△EBH，
∴EG=EH 
∴OE平分∠BOA，
同理OF平分∠AON，
∴∠EOF=90°即△OEF是直角三角形；

（3）结论①正确．
过Q作EQ⊥NQ交y轴于E，延长AC交EQ于F，连GF，AC=CM=QF．
∴过G分别作GL⊥NA，GJ⊥NQ，
∵G是∠ANM的角平分线NC上一点，
∴GL=GJ，
同（1）可得：△AGL≌△QGJ，
∴GA=GQ，
∵∠ANQ=90°，GL⊥NA，GJ⊥NQ，
∴∠LGJ=90°，
又∵∠AGH=90°，
∴∠GAC=∠FQG，
∴在△AGC和△QGF中，

GA=GQ ∠GAC=∠FQG AC=FQ

，
∴△AGC≌△QGF，
∴GC=GF=GE，
GN+GC=GN+GE=NE=

2

NQ．
∴

GN+GC

NQ

=

2

．
解：（1）A的坐标是：（-4，0），L的坐标是（-8，4），设直线AL的解析式是：y=kx+b，
则

-4k+b=0 -8k+b=4

，
解得：

k=-1 b=-4

，
则直线AL的解析式为：y=-x-4；

（2）△OEF是直角三角形．
证明：连BE，则BE⊥AC，且BE=AE． 
过E作EG⊥x轴于G，过E作EH⊥y轴于H．
则△AEG≌△EBH，
∴EG=EH 
∴OE平分∠BOA，
同理OF平分∠AON，
∴∠EOF=90°即△OEF是直角三角形；

（3）结论①正确．
过Q作EQ⊥NQ交y轴于E，延长AC交EQ于F，连GF，AC=CM=QF．
∴过G分别作GL⊥NA，GJ⊥NQ，
∵G是∠ANM的角平分线NC上一点，
∴GL=GJ，
同（1）可得：△AGL≌△QGJ，
∴GA=GQ，
∵∠ANQ=90°，GL⊥NA，GJ⊥NQ，
∴∠LGJ=90°，
又∵∠AGH=90°，
∴∠GAC=∠FQG，
∴在△AGC和△QGF中，

GA=GQ ∠GAC=∠FQG AC=FQ

，
∴△AGC≌△QGF，
∴GC=GF=GE，
GN+GC=GN+GE=NE=

2

NQ．
∴

GN+GC

NQ

=

2

．