试题

如图，直角梯形ABCD置于平面直角坐标系中，BC与x轴重合，点A在y轴上，且AD∥BC，AD=CD，若sin∠ABO=

3

5

，梯形ABCD的面积为60．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P从点A出发，沿AB向终点B运动，运动速度为每秒3个单位长度，过点P作AB的垂线交x轴于点E交y轴于点F，设点P的运动时间为t秒，线段EF长为y，求y与t的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接DE、DF，当cos∠EDF=

2

2

时，求t的值．

解：（1）∵梯形ABCD是直角梯形，且AD∥BC，∠D=90°，AD=CD，
∴四边形ADCO为正方形，
∴AD=OA=OC．
又∵sin∠ABO=

3

5

，
∴

OA

AB

=

3

5

，
∴

OA

OB

=

3

4

，
∴OA=

3

4

OB，
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AD+OB+OC）·OA=

1

2

×

5

2

OB×

3

4

OB=60，
∴OB=8，
∴OA=6，
∴A（0，6），B（-8，0）．
设直线AB的解析式为：y=kx+b（k≠0），则

6=b 0=-8k+b

，
解得

k= 3 4 b=6

，
故直线AB的解析式为：y=

3

4

x+6；

（2）∵OA=6，OB=8，
∴AB=

OA2+OB2

=10．
∵PE⊥AB，
∴cos∠PAF=

AP

AF

=

OA

AB

，即

3t

AF

=

6

10

，
解得，AF=5t．
∴根据勾股定理求得PF=4t．
∴cos∠OFE=cos∠PFA，即

OF

EF

=

PF

AF

，
∴

6-5t

y

=

4t

5t

，
∴y=-

25

4

t+

15

2

（0≤t＜

6

5

）；

（3）∵

OE

OF

=

AP

PF

，
∴

OE

6-5t

=

3t

4t

，即OE=

3

4

（6-5t），
∴CE=OC-OE=6-

3

4

（6-5t）=

3

2

+

15

4

t．
∵cos∠EDF=

2

2

，cos∠EDF是锐角，
∴cos∠EDF=45°．
∵∠ADF+∠CDE=45°，
∴点A关于直线DE的对称点与点C关于直线DE的对称点重合，即图中的点G，
∴AF+CE=FG+CG=EF，即AF+CE=EF．
∴5t+

3

2

+

15

4

t=-

25

4

t+

15

2

，
解得t=

2

5

．
解：（1）∵梯形ABCD是直角梯形，且AD∥BC，∠D=90°，AD=CD，
∴四边形ADCO为正方形，
∴AD=OA=OC．
又∵sin∠ABO=

3

5

，
∴

OA

AB

=

3

5

，
∴

OA

OB

=

3

4

，
∴OA=

3

4

OB，
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AD+OB+OC）·OA=

1

2

×

5

2

OB×

3

4

OB=60，
∴OB=8，
∴OA=6，
∴A（0，6），B（-8，0）．
设直线AB的解析式为：y=kx+b（k≠0），则

6=b 0=-8k+b

，
解得

k= 3 4 b=6

，
故直线AB的解析式为：y=

3

4

x+6；

（2）∵OA=6，OB=8，
∴AB=

OA2+OB2

=10．
∵PE⊥AB，
∴cos∠PAF=

AP

AF

=

OA

AB

，即

3t

AF

=

6

10

，
解得，AF=5t．
∴根据勾股定理求得PF=4t．
∴cos∠OFE=cos∠PFA，即

OF

EF

=

PF

AF

，
∴

6-5t

y

=

4t

5t

，
∴y=-

25

4

t+

15

2

（0≤t＜

6

5

）；

（3）∵

OE

OF

=

AP

PF

，
∴

OE

6-5t

=

3t

4t

，即OE=

3

4

（6-5t），
∴CE=OC-OE=6-

3

4

（6-5t）=

3

2

+

15

4

t．
∵cos∠EDF=

2

2

，cos∠EDF是锐角，
∴cos∠EDF=45°．
∵∠ADF+∠CDE=45°，
∴点A关于直线DE的对称点与点C关于直线DE的对称点重合，即图中的点G，
∴AF+CE=FG+CG=EF，即AF+CE=EF．
∴5t+

3

2

+

15

4

t=-

25

4

t+

15

2

，
解得t=

2

5

．