试题

如图，在平面直角坐标系中，点A（8，0），B点在第一象限，BO=BA=5，若M、N是OB和OA中点，
（1）直线MN的解析式为．
（2）△ABN面积=．
（3）将图（1）中的△NMO绕点O旋转一周，在旋转过程中，△ABN面积是否存在最大值、最小值？若不存在，请说明理由；若存在请在备用图中画出相应位置的图形，并直接写出最大值、最小值；
（4）将图（1）中的△NMO绕点O旋转，当点N在第二象限时，如图（2），设N（x，y），△ABN的面积为S，求S与x之间的函数关系式．

解：（1）作MC⊥OA于C
∵A（8，0）
∴OA=8
∵M、N是OA、OB的中点
∴MN是△AOB的中位线，ON=AN=4，OM=BM=

5

2

∴MN=

1

2

AB=

5

2

，N（4，0）
∴OM=MN
∴OC=NC=2，在Rt△OCM中，由勾股定理得，
MC=

3

2

∴M（2，

3

2

）
设：y=kx+b，由题意得

0=4k+b 3 2 =2k+b

解得：

k=- 3 4 b=3

∴MN的解析式为：y=-

3

4

x+3

（2）∵

MC

BN

=

1

2

，且MC=

3

2

∴BN=3
∴S_△ABN=

3×4

2

=6

（3）当N点到达G点时△ANB的面积最小为：

12

5

当N点到达H点时△ANB的面积最大为：

108

5

（4）过点N作NF⊥OA于E交AB的延长线于点F，BD⊥OA于A
∴BD=3，OD=AD=4
∵N（x，y），点N在第二象限
∴NE=y，EO=-x
∴AE=8-x
∵NF⊥OA，BD⊥OA
∴ADB△∽△AEF
∴

DB

EF

=

AD

AE

∴

3

EF

=

4

8-x

∴EF=

24-3x

4

在Rt△NEO中由勾股定理得：
y²+（-x）²=4²
∴y=

16-x2

NF=

24-3x

4

-

16-x2

∵S_△ABN=S_△AFN-S_△NBF
∴S_△ABN=

( 24-3x 4 - 16-x2 )(8-x)

2

- 

( 24-3x 4 - 16-x2 )(4-x)

2

∴S=

24-3x-4 16-x2

2

．