试题

题目:
如图,在平面直角坐标系中,△ABC,B(-2,0),AO=
3
5
BC
,tan∠CAO=
4
3

(1)求直线AC的解析式;
(2)动点P从点B出发以5个单位/秒的速度沿BC向终点C运动,过P作PQ⊥AC,垂足为Q,设点P运动时间为t,线段CQ长为y,求y与t的函数关系式;(并直接写出时间t的取值范围)
(3)在(2)的条件下,连接OQ,将△COQ沿着直线OQ折叠,得到△EOQ(C的对称点为E),在点P的运动过程中,是否存在EQ垂直于△ABC的一边(AB边除外)?若存在,求t的值;若不存在,说明理由.青果学院
答案
解:(1)∵tan∠CAO=
OC
OA
=
4
3

∴设OC=4x,则OA=3x,
又∵OA=
3
5
BC,
∴3x=
3
5
(2+4x),
解得x=2,
∴OA=6,OC=8,
∴A(0,6),C(8,0).
设直线AC的解析式为y=kx+b,则
b=6,8k+b=0,
∴b=6,k=-
3
4

故直线AC的解析式为y=-
3
4
x+6;

(2)在Rt△AOC中,AC=
OA2+OC2
=
62+82
=10

∵BP=5t,BC=10,∴CP=10-5t.
在Rt△CPQ中,cosC=
QC
PC

∴y=QC=PC·cosC=
4
5
(10-5t)=8-4t(0≤t<2);

青果学院(3)在点P的运动过程中,存在EQ垂直于△ABC的一边.理由如下:
若延长EQ交BC于M,则QE=CQ=8-4t.
①若QE⊥BC,则∠QMC=90°.
QM=QC·sinC=
3
5
(8-4t),MC=QC·cosC=
4
5
(8-4t),
∴EM=QE+QM=
8
5
(8-4t),OM=OC-MC=8-
4
5
(8-4t)=
16
5
t
+
8
5

tanE=tanC=
OM
EM
=
16
5
t+
8
5
8
5
(8-4t)
=
3
4

∴t=1;
②若QE⊥AC,则∠EQC=90°,
∴∠OQE=∠OQC=135°,∠OQA=45°.
作OM⊥AC于M,则OM=OC·sinC=8×
3
5
=
24
5
,MC=OC·cosC=
4
5
×8=
32
5

∵△OQM中,∠OMQ=90°,∠OQM=45°,
∴∠MOQ=45°,
∴MQ=OM=
24
5

∴QC=
8
5

∴8-4t=
8
5

解得t=
8
5

综上可知,在点P的运动过程中,存在EQ垂直于△ABC的一边(AB边除外),此时t的值为1或
8
5

解:(1)∵tan∠CAO=
OC
OA
=
4
3

∴设OC=4x,则OA=3x,
又∵OA=
3
5
BC,
∴3x=
3
5
(2+4x),
解得x=2,
∴OA=6,OC=8,
∴A(0,6),C(8,0).
设直线AC的解析式为y=kx+b,则
b=6,8k+b=0,
∴b=6,k=-
3
4

故直线AC的解析式为y=-
3
4
x+6;

(2)在Rt△AOC中,AC=
OA2+OC2
=
62+82
=10

∵BP=5t,BC=10,∴CP=10-5t.
在Rt△CPQ中,cosC=
QC
PC

∴y=QC=PC·cosC=
4
5
(10-5t)=8-4t(0≤t<2);

青果学院(3)在点P的运动过程中,存在EQ垂直于△ABC的一边.理由如下:
若延长EQ交BC于M,则QE=CQ=8-4t.
①若QE⊥BC,则∠QMC=90°.
QM=QC·sinC=
3
5
(8-4t),MC=QC·cosC=
4
5
(8-4t),
∴EM=QE+QM=
8
5
(8-4t),OM=OC-MC=8-
4
5
(8-4t)=
16
5
t
+
8
5

tanE=tanC=
OM
EM
=
16
5
t+
8
5
8
5
(8-4t)
=
3
4

∴t=1;
②若QE⊥AC,则∠EQC=90°,
∴∠OQE=∠OQC=135°,∠OQA=45°.
作OM⊥AC于M,则OM=OC·sinC=8×
3
5
=
24
5
,MC=OC·cosC=
4
5
×8=
32
5

∵△OQM中,∠OMQ=90°,∠OQM=45°,
∴∠MOQ=45°,
∴MQ=OM=
24
5

∴QC=
8
5

∴8-4t=
8
5

解得t=
8
5

综上可知,在点P的运动过程中,存在EQ垂直于△ABC的一边(AB边除外),此时t的值为1或
8
5
考点梳理
一次函数综合题.
(1)先根据正切函数的定义设OC=4x,则OA=3x,再由OA=
3
5
BC,列出关于x的方程,求出A、C两点的坐标,然后运用待定系数法求出直线AC的解析式;
(2)在Rt△CPQ中,运用余弦函数的定义求出y与t的函数关系式,并根据动点P的运动范围写出时间t的取值范围;
(3)分两种情况讨论:①QE⊥BC,②QE⊥AC.
本题主要考查了运用待定系数法求函数的解析式,勾股定理,解直角三角形,以及一次函数的综合应用,要注意的是(3)中,要根据E点的不同位置进行分类求解.
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