题目:
如图,在平面直角坐标系中,△ABC,B(-2,0),
AO=BC,tan∠CAO=
,
(1)求直线AC的解析式;
(2)动点P从点B出发以5个单位/秒的速度沿BC向终点C运动,过P作PQ⊥AC,垂足为Q,设点P运动时间为t,线段CQ长为y,求y与t的函数关系式;(并直接写出时间t的取值范围)
(3)在(2)的条件下,连接OQ,将△COQ沿着直线OQ折叠,得到△EOQ(C的对称点为E),在点P的运动过程中,是否存在EQ垂直于△ABC的一边(AB边除外)?若存在,求t的值;若不存在,说明理由.
答案
解:(1)∵tan∠CAO=
=,
∴设OC=4x,则OA=3x,
又∵OA=
BC,
∴3x=
(2+4x),
解得x=2,
∴OA=6,OC=8,
∴A(0,6),C(8,0).
设直线AC的解析式为y=kx+b,则
b=6,8k+b=0,
∴b=6,k=-
,
故直线AC的解析式为y=-
x+6;
(2)在Rt△AOC中,AC=
==10.
∵BP=5t,BC=10,∴CP=10-5t.
在Rt△CPQ中,cosC=
,
∴y=QC=PC·cosC=
(10-5t)=8-4t(0≤t<2);

(3)在点P的运动过程中,存在EQ垂直于△ABC的一边.理由如下:
若延长EQ交BC于M,则QE=CQ=8-4t.
①若QE⊥BC,则∠QMC=90°.
QM=QC·sinC=
(8-4t),MC=QC·cosC=
(8-4t),
∴EM=QE+QM=
(8-4t),OM=OC-MC=8-
(8-4t)=
t+
,
tanE=tanC=
=
=
,
∴t=1;
②若QE⊥AC,则∠EQC=90°,
∴∠OQE=∠OQC=135°,∠OQA=45°.
作OM⊥AC于M,则OM=OC·sinC=8×
=
,MC=OC·cosC=
×8=
.
∵△OQM中,∠OMQ=90°,∠OQM=45°,
∴∠MOQ=45°,
∴MQ=OM=
,
∴QC=
,
∴8-4t=
,
解得t=
.
综上可知,在点P的运动过程中,存在EQ垂直于△ABC的一边(AB边除外),此时t的值为1或
.
解:(1)∵tan∠CAO=
=,
∴设OC=4x,则OA=3x,
又∵OA=
BC,
∴3x=
(2+4x),
解得x=2,
∴OA=6,OC=8,
∴A(0,6),C(8,0).
设直线AC的解析式为y=kx+b,则
b=6,8k+b=0,
∴b=6,k=-
,
故直线AC的解析式为y=-
x+6;
(2)在Rt△AOC中,AC=
==10.
∵BP=5t,BC=10,∴CP=10-5t.
在Rt△CPQ中,cosC=
,
∴y=QC=PC·cosC=
(10-5t)=8-4t(0≤t<2);

(3)在点P的运动过程中,存在EQ垂直于△ABC的一边.理由如下:
若延长EQ交BC于M,则QE=CQ=8-4t.
①若QE⊥BC,则∠QMC=90°.
QM=QC·sinC=
(8-4t),MC=QC·cosC=
(8-4t),
∴EM=QE+QM=
(8-4t),OM=OC-MC=8-
(8-4t)=
t+
,
tanE=tanC=
=
=
,
∴t=1;
②若QE⊥AC,则∠EQC=90°,
∴∠OQE=∠OQC=135°,∠OQA=45°.
作OM⊥AC于M,则OM=OC·sinC=8×
=
,MC=OC·cosC=
×8=
.
∵△OQM中,∠OMQ=90°,∠OQM=45°,
∴∠MOQ=45°,
∴MQ=OM=
,
∴QC=
,
∴8-4t=
,
解得t=
.
综上可知,在点P的运动过程中,存在EQ垂直于△ABC的一边(AB边除外),此时t的值为1或
.