试题

题目:
青果学院在平面直角坐标系xOy中,点A1,A2,A3,…和B1,B2,B3,…分别在直线m和x轴上.△OA1B1,△B1A2B2,△B2A3B3,…都是等腰直角三角形,已知A1坐标为(1,1),A2坐标为(
7
2
3
2
).
(1)求直线m的解析式;
(2)求A3的坐标;
(3)直接写出点An纵坐标.
答案
解:(1)∵A1(1,1),A2
7
2
3
2
)在直线y=kx+b上,
k+b=1
7
2
k+b=
3
2

解得
k=
1
5
b=
4
5

∴直线解析式为y=
1
5
x+
4
5


(2)如图,设直线与x轴、y轴的交点坐标分别为N、M,
当x=0时,y=
4
5

当y=0时,
1
5
x+
4
5
=0,解得x=-4,
∴点M、N的坐标分别为M(0,
4
5
),N(-4,0),
∴tan∠MNO=
MO
NO
=
4
5
4
=
1
5

作A1C1⊥x轴与点C1,A2C2⊥x轴与点C2,A3C3⊥x轴与点C3
∵A1(1,1),A2
7
2
3
2
),青果学院
∴OB2=OB1+B1B2=2×1+2×
3
2
=2+3=5,
tan∠MNO=
A3C3
NC3
=
A3C3
4+5+B 3C3
=
1
5

∵△B2A3B3是等腰直角三角形,
∴A3C3=B2C3
∴A3C3=
9
4
=(
3
2
2
9
4
=
1
5
x+
4
5

解得:x=
29
4

∴A3的坐标为:(
29
4
9
4
);

(3)∵A1(1,1),A2
7
2
3
2
),
A3的坐标为:(
29
4
9
4
);
同理可求,第四个等腰直角三角形A4C4=
27
8
=(
3
2
3
依此类推,点An的纵坐标是(
3
2
n-1
解:(1)∵A1(1,1),A2
7
2
3
2
)在直线y=kx+b上,
k+b=1
7
2
k+b=
3
2

解得
k=
1
5
b=
4
5

∴直线解析式为y=
1
5
x+
4
5


(2)如图,设直线与x轴、y轴的交点坐标分别为N、M,
当x=0时,y=
4
5

当y=0时,
1
5
x+
4
5
=0,解得x=-4,
∴点M、N的坐标分别为M(0,
4
5
),N(-4,0),
∴tan∠MNO=
MO
NO
=
4
5
4
=
1
5

作A1C1⊥x轴与点C1,A2C2⊥x轴与点C2,A3C3⊥x轴与点C3
∵A1(1,1),A2
7
2
3
2
),青果学院
∴OB2=OB1+B1B2=2×1+2×
3
2
=2+3=5,
tan∠MNO=
A3C3
NC3
=
A3C3
4+5+B 3C3
=
1
5

∵△B2A3B3是等腰直角三角形,
∴A3C3=B2C3
∴A3C3=
9
4
=(
3
2
2
9
4
=
1
5
x+
4
5

解得:x=
29
4

∴A3的坐标为:(
29
4
9
4
);

(3)∵A1(1,1),A2
7
2
3
2
),
A3的坐标为:(
29
4
9
4
);
同理可求,第四个等腰直角三角形A4C4=
27
8
=(
3
2
3
依此类推,点An的纵坐标是(
3
2
n-1
考点梳理
一次函数综合题.
(1)利用待定系数法求一次函数解析式求出直线的解析式,
(2)求出直线与x轴、y轴的交点坐标,求出直线与x轴的夹角的正切值,分别过等腰直角三角形的直角顶点向x轴作垂线,然后根据等腰直角三角形斜边上的高线与中线重合并且等于斜边的一半,利用正切值列式依次求出三角形的斜边上的高线,即可得到A3的坐标;
(3)由(2)得出各点的纵坐标的规律.
此题主要考查了一次函数的综合,主要利用了待定系数法求函数解析式,等腰直角三角形斜边上的高线就是斜边上的中线,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,以及正切的定义,规律性较强,注意指数与点的脚码相差1.
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