试题

题目:
青果学院直线y=-
4
3
x+4与x,y轴交于A,B两点,在坐标平面上有一点P,⊙P的半径为6.
(1)求A,B两点坐标.
(2)若点P在直线y=-
4
3
x+4上,且与x轴相切,求点P坐标.
(3)若⊙P与x轴和直线y=-
4
3
x+4都相切,求点P坐标.
答案
解:(1)当x=0时,y=4,
当y=0时,-
4
3
x+4=0,解得x=3.
青果学院故A(3,0),B(0,4);

(2)在y=-
4
3
x+4中当y=6时,-
4
3
x+4=6,解得:x=-
3
2
,则P的坐标是:(-
3
2
,6);
在y=-
4
3
x+4中当y=-6时,-
4
3
x+4=-6,解得:x=
15
2
,则P的坐标是(
15
2
,-6);

(3)当P的位置如①时,
连接P与切点E,F,则PE⊥x轴,PF⊥AB,作PG∥x轴,交AB于点G,作GH⊥x轴于H.则PE=PF=GH=6,
青果学院在直角△AHG和直角△PFG中,
GH
AH
=
PF
FG
=
4
3

∴AH=GF=
9
2

∴OH=AH-OA=
9
2
-3=
3
2
,即H的坐标是(-
3
2
,0),
PG=
PF2+FG2
=
62+(
9
2
)2
=
15
2

∴OE=OH+EH=OH+PG=
3
2
+
15
2
=9,则P的坐标是:(-9,6);

青果学院当P的位置如图②所示时,同①可以得到:AH=GF=
9
2
,PG=
PF2+FG2
=
62+(
9
2
)2
=
15
2

∴OH=AH-OA=
9
2
-3=
3
2

∴OE=PG-OH=
15
2
-
3
2
=6,
则P的坐标是(6,6);

当P的位置如图③时,同①可得:AH=
9
2
,PG=
15
2

则OH=OA+AH=3+
9
2
=
15
2

青果学院∴OE=OH-EH=OH-PG=
15
2
-
15
2
=0,则P的坐标是(0,-6);

当P如图④所示时,
AH=
9
2
,GP=HE=
15
2

∴OE=OA+AH+HE=3+
9
2
+
15
2
=15,
则P的坐标是(15,-6).
总之,P的坐标是:(-9,6)或(6,6)或(0,-6)或(15,-6).
解:(1)当x=0时,y=4,
当y=0时,-
4
3
x+4=0,解得x=3.
青果学院故A(3,0),B(0,4);

(2)在y=-
4
3
x+4中当y=6时,-
4
3
x+4=6,解得:x=-
3
2
,则P的坐标是:(-
3
2
,6);
在y=-
4
3
x+4中当y=-6时,-
4
3
x+4=-6,解得:x=
15
2
,则P的坐标是(
15
2
,-6);

(3)当P的位置如①时,
连接P与切点E,F,则PE⊥x轴,PF⊥AB,作PG∥x轴,交AB于点G,作GH⊥x轴于H.则PE=PF=GH=6,
青果学院在直角△AHG和直角△PFG中,
GH
AH
=
PF
FG
=
4
3

∴AH=GF=
9
2

∴OH=AH-OA=
9
2
-3=
3
2
,即H的坐标是(-
3
2
,0),
PG=
PF2+FG2
=
62+(
9
2
)2
=
15
2

∴OE=OH+EH=OH+PG=
3
2
+
15
2
=9,则P的坐标是:(-9,6);

青果学院当P的位置如图②所示时,同①可以得到:AH=GF=
9
2
,PG=
PF2+FG2
=
62+(
9
2
)2
=
15
2

∴OH=AH-OA=
9
2
-3=
3
2

∴OE=PG-OH=
15
2
-
3
2
=6,
则P的坐标是(6,6);

当P的位置如图③时,同①可得:AH=
9
2
,PG=
15
2

则OH=OA+AH=3+
9
2
=
15
2

青果学院∴OE=OH-EH=OH-PG=
15
2
-
15
2
=0,则P的坐标是(0,-6);

当P如图④所示时,
AH=
9
2
,GP=HE=
15
2

∴OE=OA+AH+HE=3+
9
2
+
15
2
=15,
则P的坐标是(15,-6).
总之,P的坐标是:(-9,6)或(6,6)或(0,-6)或(15,-6).
考点梳理
一次函数综合题.
(1)已知直线解析式,易求A,B点坐标;
(2)由题意知点P在坐标轴上,说的很模糊,所以要分类讨论,再根据圆的性质及相切的条件,又知道圆的半径,从而求出每种情况的P点坐标;
(3)分P有四种情况,根据勾股定理求得P到选、轴的距离即可求得P的横坐标,则P的坐标可以求得.
本题考查了一次函数与圆的切线的性质,勾股定理的综合应用,正确分情况讨论是关键.
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