试题

如图1，直线y=x+4及直线y=-2x+4与坐标轴交于A、B、C三点．
（1）若过C点直线L平分△ABC的面积，求直线L的解析式．
（2）如图2，以BC为斜边作等腰直角△BCD，求四边形ABDC的面积．
（3）如图3，M为线段AB上一动点，过点M作MN∥AC交BC于点N，当△CMN的面积为3时，求点M的坐标．

解：（1）当x=0时，
y=4．
∴C（0，4）．
∴OC=4
当y=0时，则
0=x+4，0=-2x+4，
∴x=-4或x=2，
∴A（-4，0），B（2，0），
∴OA=4，OB=2，
∴AB=6．
∵过C点直线L平分△ABC的面积，
∴L经过AB的中点E，
∴AE=3，
∴E（-1，0）．
设L的解析式为y=kx+b，由题意，得

4=b 0=-k+b

，
解得：

k=4 b=4

，
∴直线L的解析式为：y=4x+4．
（2）在Rt△BOC中，由勾股定理，得
BC=

16+4

=2

5

，
设DC=x，则BD=x，在Rt△BCD中，由勾股定理，得
2x²=20，
x²=10．
∴S_△BCD=

1

2

x²=5．
∵S△ABC=

4×6

2

=12，
∴S_{四边形ABDC}=5+12=17．
（3）作MG∥BC交AC于G，则四边形MNCG是平行四边形，
∵△CMN的面积为3，
∴S_{平行四边形MNCG}=6，S_△AMG+S_△MBN=S_△ABC-S_{平行四边形MNCG}=12-6=6，
设BM=x，则AM=6-x，
∵MN∥AC，
∴△ABC∽△MBN，
∴

SMBN

S△ABC

=（

MB

AB

）²=（

x

6

）²=

x2

36

…①，
同理：

S△AMC

S△ABC

=

(6-x)2

36

…②，
①+②得：

6

12

=

x2

36

+

(6-x)2

36

，
解得：x=3，
∵B（2，0），即OB=2，
∴OM=1，
则M的坐标是（-1，0）．
解：（1）当x=0时，
y=4．
∴C（0，4）．
∴OC=4
当y=0时，则
0=x+4，0=-2x+4，
∴x=-4或x=2，
∴A（-4，0），B（2，0），
∴OA=4，OB=2，
∴AB=6．
∵过C点直线L平分△ABC的面积，
∴L经过AB的中点E，
∴AE=3，
∴E（-1，0）．
设L的解析式为y=kx+b，由题意，得

4=b 0=-k+b

，
解得：

k=4 b=4

，
∴直线L的解析式为：y=4x+4．
（2）在Rt△BOC中，由勾股定理，得
BC=

16+4

=2

5

，
设DC=x，则BD=x，在Rt△BCD中，由勾股定理，得
2x²=20，
x²=10．
∴S_△BCD=

1

2

x²=5．
∵S△ABC=

4×6

2

=12，
∴S_{四边形ABDC}=5+12=17．
（3）作MG∥BC交AC于G，则四边形MNCG是平行四边形，
∵△CMN的面积为3，
∴S_{平行四边形MNCG}=6，S_△AMG+S_△MBN=S_△ABC-S_{平行四边形MNCG}=12-6=6，
设BM=x，则AM=6-x，
∵MN∥AC，
∴△ABC∽△MBN，
∴

SMBN

S△ABC

=（

MB

AB

）²=（

x

6

）²=

x2

36

…①，
同理：

S△AMC

S△ABC

=

(6-x)2

36

…②，
①+②得：

6

12

=

x2

36

+

(6-x)2

36

，
解得：x=3，
∵B（2，0），即OB=2，
∴OM=1，
则M的坐标是（-1，0）．