试题

（1）如图1，点M是正方形ABCD内一定点，请你在图1中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成相等的两部分．（只需保留作图痕迹）
（2）如图2，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是我市城东新区开发用地示意图，其中DC∥OB，OB=8，BC=6，CD=6．新区管委会（其占地面积不计）设在点P（5，3）处，为了方便驻区单位，准备过点P修一条笔直的道路（路的宽度不计），并且使这条路所在的直线L将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分，你认为直线L是否存在？若存在，求出直线L的表达式；若不存在，请说明理由．

解：（1）如图②连接AC、BD交于O则O为正方形对称中心．
作直线MO，直线MO即为所求．

（2）如图③存在直线l，
过点D的直线作DA⊥OB于点A，
则点P（5，3）为矩形ABCD的对称中心，
∴过点P的直线只要平分△DOA的面积即可，
易知，在OD边上必存在点H使得PH将△DOA面积平分．
从而，直线PH平分梯形OBCD的面积，即直线PH为所求直线l
设直线PH的表达式为y=kx+b且点P（5，3），
∴3=5k+b即b=3-5k，
∴y=kx+3-5k，
∵直线OD的表达式为y=3x，
∴

y=kx+3-5k y=3x

，
解之

x= 3-5k 3-k y= 9-15k 3-k

．
∴点H的坐标为（x=

3-5k

3-k

，y=

9-15k

3-k

）
把x=2代入直线PH的解析式y=kx+3-5k，得y=3-k，
∴PH与线段AD的交点F（2，3-k），
∴0＜3-k＜6，
∴-3＜k＜3．
∴S_△DHF=

1

2

[6-（3-k）·（2-

3-5k

3-k

）=

1

2

×

1

2

×2×6，
∴解得：k=-3+2

3

．（k=-3-2

3

舍去）
∴b=3-5k=18-10

3

，
∴直线l的表达式为：y=（-3+2

3

）x+18-10

3

．
解：（1）如图②连接AC、BD交于O则O为正方形对称中心．
作直线MO，直线MO即为所求．

（2）如图③存在直线l，
过点D的直线作DA⊥OB于点A，
则点P（5，3）为矩形ABCD的对称中心，
∴过点P的直线只要平分△DOA的面积即可，
易知，在OD边上必存在点H使得PH将△DOA面积平分．
从而，直线PH平分梯形OBCD的面积，即直线PH为所求直线l
设直线PH的表达式为y=kx+b且点P（5，3），
∴3=5k+b即b=3-5k，
∴y=kx+3-5k，
∵直线OD的表达式为y=3x，
∴

y=kx+3-5k y=3x

，
解之

x= 3-5k 3-k y= 9-15k 3-k

．
∴点H的坐标为（x=

3-5k

3-k

，y=

9-15k

3-k

）
把x=2代入直线PH的解析式y=kx+3-5k，得y=3-k，
∴PH与线段AD的交点F（2，3-k），
∴0＜3-k＜6，
∴-3＜k＜3．
∴S_△DHF=

1

2

[6-（3-k）·（2-

3-5k

3-k

）=

1

2

×

1

2

×2×6，
∴解得：k=-3+2

3

．（k=-3-2

3

舍去）
∴b=3-5k=18-10

3

，
∴直线l的表达式为：y=（-3+2

3

）x+18-10

3

．