试题

题目:
青果学院如图,已知以AB为直径的圆与x轴交于A、B两点,与y轴交于C、D两点,A、C 两点的坐标分别为A(-1,0)、C(0,3),直线DE交x轴交于点E(-
9
4
,0).
(1)求该圆的圆心坐标和直线DE的解析式;
(2)判断直线DE与圆的位置关系,并说明理由.
答案
解:(1)如图,设圆心为F,圆的半径为r,连接CF,
青果学院A(-1,0)、C(0,3),
∴OC=3,OF=r-1,
根据勾股定理,CF2=OC2+OF2
即r2=32+(r-1)2
解得r=5,
r-1=4,
∴圆心坐标为(4,0),
根据圆的对称性,点D的坐标为(0,-3),
设直线DE的解析式为y=kx+b,
b=-3
-
9
4
k+b=0

解得
k=-
4
3
b=-3

∴直线DE的解析式为y=-
4
3
x-3;

(2)直线DE与圆相切.理由如下:
如图,连接DF,
则OE=
9
4
,OF=4,OD=3,
OE
OD
=
9
4
3
=
3
4
OD
OF
=
3
4

OE
OD
=
OD
OF

又∵∠DOF,
∴△DOE∽△FOD,
∴∠ODE=∠OFD,
∵∠OFD+∠ODF=90°,
∴∠ODE+∠ODF=90°,
即∠EDF=90°,
∴FD⊥ED,
又∵点D在圆上,
∴直线DE与圆相切.
解:(1)如图,设圆心为F,圆的半径为r,连接CF,
青果学院A(-1,0)、C(0,3),
∴OC=3,OF=r-1,
根据勾股定理,CF2=OC2+OF2
即r2=32+(r-1)2
解得r=5,
r-1=4,
∴圆心坐标为(4,0),
根据圆的对称性,点D的坐标为(0,-3),
设直线DE的解析式为y=kx+b,
b=-3
-
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4
k+b=0

解得
k=-
4
3
b=-3

∴直线DE的解析式为y=-
4
3
x-3;

(2)直线DE与圆相切.理由如下:
如图,连接DF,
则OE=
9
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,OF=4,OD=3,
OE
OD
=
9
4
3
=
3
4
OD
OF
=
3
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OE
OD
=
OD
OF

又∵∠DOF,
∴△DOE∽△FOD,
∴∠ODE=∠OFD,
∵∠OFD+∠ODF=90°,
∴∠ODE+∠ODF=90°,
即∠EDF=90°,
∴FD⊥ED,
又∵点D在圆上,
∴直线DE与圆相切.
考点梳理
一次函数综合题.
(1)设圆心为F,圆是半径为r,连接CF,根据点A、C的坐标表示出OC、OF的长度,然后利用勾股定理列式进行计算即可求出r的值,从而得到圆心的坐标,利用待定系数法列式进行计算即可求出直线DE的解析式;
(2)根据圆的对称性可得点D的坐标,连接DF,然后求出△DOE与△FOD相似,再根据相似三角形对应角相等求出∠ODE=∠OFD,从而推出∠EDF=90°,根据直线与圆的位置关系即可判断.
本题是对一次函数的综合考查,主要有勾股定理,待定系数法求直线解析式,直线与圆相切的判定,作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键.
综合题.
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