试题

已知：如图，三个半圆彼此相外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上并与直线y=

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x相切，设半圆C₁、半圆C₂、半圆C_3…的半径分别是r₁、r₂、r_3…．，则当r₁=1时，则r₂₀₁₂=．

解：设半圆C₁、半圆C₂、半圆C₃直线y=

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x分别相切于点A，B，C，连接C₁A，C₂B，C₃C，
则C₁A⊥OA，C₂B⊥OB，C₃C⊥OC，
∵tan∠COC₁=

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，
∴∠COC₁=30°，
又∵三半圆彼此相外切，
∴OC₁=2C₁A=2r₁，0C₂=2C₂B=2r₂=OC₁+r₁+r₂=3r₁+r₂，0C₃=2C₃C=OC₂+r₂+r₃=3r₁+2r₂+r₃=2r₃，
∴2r₂=3r₁+r₂，3r₁+2r₂+r₃=2r₃，
∴r₂=3r₁，r₃=3r₁+2r₂，
∵r₁=1=3⁰，
∴r₂=3=3¹，
∴r₃=9=3²，
∴按此规律归纳得：r_n=3^n-1，
∴r₂₀₁₂=3²⁰¹¹．
故答案为：3²⁰¹¹．