试题

如图，已知点A，B分别在x轴和y轴上，且OA=OB=3

2

，点C的坐标是C（

7

2

2

，

7

2

2

）AB与OC相交于点G．点P从O出发以每秒1个单位的速度从O运动到C，过P作直线EF∥AB分别交OA，OB或BC，AC于E，F．解答下列问题：
（1）直接写出点G的坐标和直线AB的解析式．
（2）若点P运动的时间为t，直线EF在四边形OACB内扫过的面积为s，请求出s与t的函数关系式；并求出当t为何值时，直线EF平分四边形OACB的面积．
（3）设线段OC的中点为Q，P运动的时间为t，求当t为何值时，△EFQ为直角三角形．

解：（1）G点的坐标是G（

3

2

2

，

3

2

2

），
∵OA=OB=3

2

，得出A，B两点坐标分别为：（3

2

，0），（0，3

2

），
设直线AB的解析式为y=kx+b，则

0=3 2 k+b b=3 2

，
解得：

k=-1 b=3 2

，
故直线AB的解析式为：y=-x+3

2

；

（2）∵C的坐标是C（

7

2

2

，

7

2

2

），
∴OC是∠AOB的角平分线，OC=

( 7 2 2 )2+( 7 2 2 )2

=7，
又∵OA=OB=3

2

，
∴AB=

(3 2 )2+(3 2 )2

=6，
∴∠BAO=∠ABO=∠BOG=∠AOG=45°，
∴∠AGO=90°，即AB⊥OC，
∴OG=3．
①当0＜t≤3时，OP=t，
∵EF∥AB，
∴EF⊥OC，
∴EF=2OP=2t，
∴S=S_△OEF=

1

2

·EF·OP=

1

2

·2t·t=t²，
②当3＜t≤7时，设EF与AC交于G′，与BC交于H，
OP=t，CP=7-t，CG=7-OG=7-3=4，
∵EF∥AB，
∴△CHG′∽△CBA，
∴

HG′

BA

=

CP

CG

，
即

HG′

6

=

7-t

4

，
∴HG′=

3

2

（7-t），
∴S=S_{四边形OACB}-S_△CHG′=

1

2

·AB·CO-

1

2

HG′·CP
=

1

2

×6×7-

1

2

×

3

2

（7-t）（7-t）
=-

3

4

t²+

21

2

t-

63

4

，
∴s与t的函数关系式是：
S=

t2(0＜t≤3) - 3 4 t2+ 21 2 t- 63 4 (3＜t≤7)

．
当直线EF平分四边形OABC的面积时有：-

3

4

t²+

21

2

t-

63

4

=

1

2

×

1

2

×6×7，
整理得：t²-14t+35=0，
解得：x₁=7+

14

＞7（不符合题意舍去），x₂=7-

14

，
故当t=7-

14

时，直线EF平分四边形OABC的面积；

（3）①如图1，当P在线段OQ上，且∠EQF=90°时，
∵EF∥AB，
∴∠OEF=∠OAB=∠OBA=∠OFE=45°，
∴OE=OF，
又∵∠FOG=∠EOG=45°，OQ=OQ，
∴△OEQ≌△OFQ，
∴∠FQO=∠EQO=45°，
∴∠OFQ=∠FOE=∠FQE=90°，
∴四边形OEQF是正方形，
∴OP=

1

2

OQ=

1

2

×

7

2

=

7

4

，
即t=

7

4

时，△EFQ为直角三角形，
②如图2，当P在线段CQ上，且∠EQF=90°时，
同理可证：△CQF≌△CQE，
∴△QEF是等腰直角三角形，
∴EF=2PQ=2（t-

7

2

），
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CBA，
∴

EF

BA

=

CP

CG

，
即

2(t- 7 2 )

6

=

7-t

4

，
解得：t=5，
故当t=

7

4

或t=5时，△EFQ为直角三角形．
解：（1）G点的坐标是G（

3

2

2

，

3

2

2

），
∵OA=OB=3

2

，得出A，B两点坐标分别为：（3

2

，0），（0，3

2

），
设直线AB的解析式为y=kx+b，则

0=3 2 k+b b=3 2

，
解得：

k=-1 b=3 2

，
故直线AB的解析式为：y=-x+3

2

；

（2）∵C的坐标是C（

7

2

2

，

7

2

2

），
∴OC是∠AOB的角平分线，OC=

( 7 2 2 )2+( 7 2 2 )2

=7，
又∵OA=OB=3

2

，
∴AB=

(3 2 )2+(3 2 )2

=6，
∴∠BAO=∠ABO=∠BOG=∠AOG=45°，
∴∠AGO=90°，即AB⊥OC，
∴OG=3．
①当0＜t≤3时，OP=t，
∵EF∥AB，
∴EF⊥OC，
∴EF=2OP=2t，
∴S=S_△OEF=

1

2

·EF·OP=

1

2

·2t·t=t²，
②当3＜t≤7时，设EF与AC交于G′，与BC交于H，
OP=t，CP=7-t，CG=7-OG=7-3=4，
∵EF∥AB，
∴△CHG′∽△CBA，
∴

HG′

BA

=

CP

CG

，
即

HG′

6

=

7-t

4

，
∴HG′=

3

2

（7-t），
∴S=S_{四边形OACB}-S_△CHG′=

1

2

·AB·CO-

1

2

HG′·CP
=

1

2

×6×7-

1

2

×

3

2

（7-t）（7-t）
=-

3

4

t²+

21

2

t-

63

4

，
∴s与t的函数关系式是：
S=

t2(0＜t≤3) - 3 4 t2+ 21 2 t- 63 4 (3＜t≤7)

．
当直线EF平分四边形OABC的面积时有：-

3

4

t²+

21

2

t-

63

4

=

1

2

×

1

2

×6×7，
整理得：t²-14t+35=0，
解得：x₁=7+

14

＞7（不符合题意舍去），x₂=7-

14

，
故当t=7-

14

时，直线EF平分四边形OABC的面积；

（3）①如图1，当P在线段OQ上，且∠EQF=90°时，
∵EF∥AB，
∴∠OEF=∠OAB=∠OBA=∠OFE=45°，
∴OE=OF，
又∵∠FOG=∠EOG=45°，OQ=OQ，
∴△OEQ≌△OFQ，
∴∠FQO=∠EQO=45°，
∴∠OFQ=∠FOE=∠FQE=90°，
∴四边形OEQF是正方形，
∴OP=

1

2

OQ=

1

2

×

7

2

=

7

4

，
即t=

7

4

时，△EFQ为直角三角形，
②如图2，当P在线段CQ上，且∠EQF=90°时，
同理可证：△CQF≌△CQE，
∴△QEF是等腰直角三角形，
∴EF=2PQ=2（t-

7

2

），
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CBA，
∴

EF

BA

=

CP

CG

，
即

2(t- 7 2 )

6

=

7-t

4

，
解得：t=5，
故当t=

7

4

或t=5时，△EFQ为直角三角形．