试题

题目：
如图，在平面直角坐标系中，直线y=-
3
3
x+
3
交x轴于A点，交y轴于B点，点C是线段AB的中点，连接OC，然后将直线OC绕点C逆时针旋转30°交x轴于点D，再过D点作直线DC1∥OC，交AB与点C1，然后过C1点继续作直线D1C1∥OC，交x轴于点D1，并不断重复以上步骤，记△OCD的面积为S1，△DC1D1的面积为S2，依此类推，后面的三角形面积分别是S3，S4…，那么S1=
3
4
3
4
，若S=S1+S2+S3+…+Sn，当n无限大时，S的值无限接近于
9
3
20
9
3
20
．
青果学院
答案
3
4

9
3
20

青果学院解：过O作OC0⊥AB于C0，过D作DE⊥OC于E；
由直线AC的解析式y=-
3
3
x+
3
可知：
当y=0时，x=3，则OA=3；
当x=0时，x=
3
，则OB=
3
；
故∠OBA=60°，∠OAB=30°；
由于C是Rt△AOB斜边AB的中点，
所以OC=CB，则△OBC是等边三角形；
∴∠BOC=60°，∠DOC=∠DCO=30°；
∴OE=CE=
3
2
；

（1）△ODE中，OE=
3
2
，∠DOE=30°，
则DE=
1
2
，S△OCD=
1
2
OC·DE=
3
4
；

（2）易知：S△AOB=
1
2
OA·OB=
3
3
2
，S△BOC=
1
2
S△AOB=
3
3
4
，S△OBC0=S△OCC0=
1
2
S△OBC=
3
3
8
；
∴S△OC0A=S△OAB-S△OBC0=
3
3
2
-
3
3
8
=
9
3
8
；
由题意易得：△OC0C、△DCC1、△D1C1D2…都相似，△ODC、△OD1C1、△D1C2D2…也都相似；
设△OC0C、△DCC1、△D1C1D2…的面积和为S′，则：
S′：S=S△OC0C：S△OCD=
3
3
8
：
3
4
=3：2，
∴S=
2
5
S△OC0A=
2
5
×
9
3
8
=
9
3
20
；
故答案为：
3
4
，
9
3
20
．
考点梳理
一次函数综合题．
根据直线AB的解析式y=-
3
3
x+
3
，易得OB=
3
，OA=3，即∠OBA=60°，而C是Rt△OAB的中点，那么易得△OCB是等边三角形，则∠COD=30°，OC=
3
；
（1）首先求△OCD的面积，已知∠DCO=∠DOC=30°，那么△OCD是等腰三角形，过D作OC的垂线设垂足为E，易得OE的长，通过解直角三角形可求得DE的值，从而根据三角形的面积公式得到△OCD的面积；
（2）求S的值，需要从整体出发；过O作OC0∥DC，那么OC0⊥AB，易可求出△OC0B、△OCC0的值，通过观察，△OC0C、△DCC1、△D1C1D2…都是相似三角形，△ODC、△OD1C1、△D1C2D2…也都是相似三角形，因此上述两种相似三角形的面积和将△OC0A的面积分为两部分，且它们的比为△OC0C与△ODC的面积比，可据此求出S的值．
此题主要考查了图形面积的求法，涉及到一次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、直角三角形的性质、等边三角形及等腰三角形的性质等知识，注意此题中整体思想的运用．
压轴题．
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