试题

题目:
在平面直角坐标系xOy中,A(2,m),B(3,1),C(6,0),且点A在函数y=
1
2
x的图象上,点P为x轴上一动点,当△OAP与△CBP的周长和最小时,点P的坐标为
(2.5,0)
(2.5,0)

答案
(2.5,0)

青果学院解:∵点A在函数y=
1
2
x的图象上,且A(2,m),
∴m=1,
∴A(2,1),在平面直角坐标系中描出A、B、C三点,
∴△OAP与△CBP的周长和中OA,BC及OP+PC的和都是定值,
∴AP+BP最小就是△OAP与△CBP的周长和最小.
作B点关于x轴的对称点D,连接AD交x轴于点P,连接AB,
∵AB∥x轴,且x轴平分BD
∴x轴平分AD,DE=BE,
∴AP=PD,
∴PE是△ABD的中位线,
∴PE=
1
2
AB,且AB=1,
∴PE=0.5
∴OP=2.5
∴P(2.5,0).
故答案为:P(2.5,0).
考点梳理
一次函数综合题.
首先根据题意求出m的值,然后再平面直角坐标系根据A、B、C的坐标标出其位置,要求△OAP与△CBP的周长和最小,实际上就是求AP+BP的值最小,根据轴对称的性质就可以求出其结论.
本题是一道一次函数的综合试题,考查了点的坐标与解析式的关系,轴对称的性质的运用.三角形的中位线的性质及平行线等分线段定理的运用.
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