试题

“5.12”四川汶川8.0级特大地震牵动着亿万国人的心，众志成城，抗震救灾！灾区人民在党和各级政府的领导下，抓住农时投入了灾后的生产．灾区某生产队想安排30个劳动力开垦75亩土地（每个人可参与多种土地的开垦），这些土地可以种蔬菜、水稻和地瓜，如果这些农作物所需的劳动力和预计的产值如下表：

农作物 劳动力和预计产值	蔬菜	水稻	地瓜
每亩所需的劳动力（人）	0.5	0.25	0.125
每亩预计的产值	100	60	45

（1）设种蔬菜x亩，水稻y亩，求y与x之间的函数关系式；
（2）请你为生产队长设计一个能使所有土地都种上农作物，全部劳动力都有工作，而且农作物预计总产值达到最高的最佳生产方案；
（3）目前世界粮食紧缺，水稻需求量加大，若水稻预计产值每亩提高10元，其他数据不变，又如何安排生产方案才能达到总产值最高？

解：（1）∵种蔬菜x亩，水稻y亩∴种地瓜（75-x-y）亩，
∴

1

2

x+

1

4

y+

1

8

(75-x-y)=30，整理：y=-3x+165（2分）；

（2）设农作物总产值为w元，则w=100x+60y+45（75-x-y）=10x+5850（3分），
∵75-x-y=75-x-（-3x+165）=2x-90，
由题意：

x≥0 -3x+165≥0 2x-90≥0

，解得45≤x≤55（4分），
∵10＞0∴w随x增大而增大，
∴当x=55时，w_最大值=6400（5分），
故最佳生产方案是安排种蔬菜55亩，地瓜20亩，可使总产值最高（6分）；

（3）为了满足水稻需求量，尽量安排种水稻，在y=-3x+165中，
∵-3＜0，∴y随x增大而减小∴当x=45时，y有最大值，（7分）
设此时总产值为w'，w'=100x+70y+45（75-x-y）=-20x+7500，（8分）
∵-20＜0，∴w′随x增大而减小，（9分）
∴当x=45时，w'_大=6600综上所述，此时最佳方案是种蔬菜45亩，水稻30亩时可满足产值最高，且满足水稻的需求．（10分）
解：（1）∵种蔬菜x亩，水稻y亩∴种地瓜（75-x-y）亩，
∴

1

2

x+

1

4

y+

1

8

(75-x-y)=30，整理：y=-3x+165（2分）；

（2）设农作物总产值为w元，则w=100x+60y+45（75-x-y）=10x+5850（3分），
∵75-x-y=75-x-（-3x+165）=2x-90，
由题意：

x≥0 -3x+165≥0 2x-90≥0

，解得45≤x≤55（4分），
∵10＞0∴w随x增大而增大，
∴当x=55时，w_最大值=6400（5分），
故最佳生产方案是安排种蔬菜55亩，地瓜20亩，可使总产值最高（6分）；

（3）为了满足水稻需求量，尽量安排种水稻，在y=-3x+165中，
∵-3＜0，∴y随x增大而减小∴当x=45时，y有最大值，（7分）
设此时总产值为w'，w'=100x+70y+45（75-x-y）=-20x+7500，（8分）
∵-20＜0，∴w′随x增大而减小，（9分）
∴当x=45时，w'_大=6600综上所述，此时最佳方案是种蔬菜45亩，水稻30亩时可满足产值最高，且满足水稻的需求．（10分）