试题

（2013·西城区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A（-3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y=

4

3

x的图象的交点为C（m，4）．
（1）求一次函数y=kx+b的解析式；
（2）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，直接写出点D的坐标．

解：（1）∵点C（m，4）在直线y=

4

3

x上，
∴4=

4

3

m，
解得m=3；
∵点A（-3，0）与C（3，4）在直线y=kx+b（k≠0）上，
∴

0=-3k+b 4=3k+b

，
解得

k= 2 3 b=2

，
∴一次函数的解析式为y=

2

3

x+2．

（2）过点D₁⊥y轴于点E，过点D₂⊥x轴于点F，
∵点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，
∴AB=BD₁，AB=BD₂，
∵∠D₁BE+∠ABO=90°，
∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠EBD₁，
∵在△BED₁和△AOB中，

∠D1EB=∠BOA ∠EBD1=∠BAO D1B=BA

∴△BED₂≌△AOB（AAS），
∴BE=AO=3，D₁E=BO=2，
即可得出点D的坐标为（-2，5）；
同理可得出：△BED₂≌△AOB，
∴FA=BO=2，D₂F=AO=3，
∴点D的坐标为（-5，3）．
综上所述：点D的坐标为（-2，5）或（-5，3）．
解：（1）∵点C（m，4）在直线y=

4

3

x上，
∴4=

4

3

m，
解得m=3；
∵点A（-3，0）与C（3，4）在直线y=kx+b（k≠0）上，
∴

0=-3k+b 4=3k+b

，
解得

k= 2 3 b=2

，
∴一次函数的解析式为y=

2

3

x+2．

（2）过点D₁⊥y轴于点E，过点D₂⊥x轴于点F，
∵点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，
∴AB=BD₁，AB=BD₂，
∵∠D₁BE+∠ABO=90°，
∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠EBD₁，
∵在△BED₁和△AOB中，

∠D1EB=∠BOA ∠EBD1=∠BAO D1B=BA

∴△BED₂≌△AOB（AAS），
∴BE=AO=3，D₁E=BO=2，
即可得出点D的坐标为（-2，5）；
同理可得出：△BED₂≌△AOB，
∴FA=BO=2，D₂F=AO=3，
∴点D的坐标为（-5，3）．
综上所述：点D的坐标为（-2，5）或（-5，3）．