试题

题目：
一张矩形纸片经过折叠得到一个三角形（如图所示），则三角形与矩形周长之比为
3
-1
3
-1
．
青果学院
答案
3
-1

青果学院解：根据折叠的性质得：AC′=DC′=C′F，BC′=BC，∠1=∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠7，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠A=90°，
∴∠1=∠2=∠3=
1
3
∠ABC=30°，
∴∠4=∠5=180°-∠A-∠1=60°，
∴∠6=∠7=（180°-∠4-∠5）÷2=30°，
设AC′=x，则BC′=2x，C′D=x，
AB=
AC′
tan30°
=
3
x，C′E=
C′D
cos30°
=
2
3
3
x，BE=
CB
cos30°
=
2x
3
2
=
4
3
3
x，
∴△BC′E的周长为：C′B+EB+C′E=2x+
2
3
3
x+
4
3
3
x=（2+2
3
）x，
矩形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2×（
3
x+2x）=（2
3
+4）x，
∴三角形与矩形周长之比为：（2+2
3
）：（2
3
+4）=
3
-1．
故答案为：
3
-1．
考点梳理
翻折变换（折叠问题）．
首先由折叠的性质与矩形的性质求得：AC′=DC′=C′F，BC′=BC，∠1=∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠7，再求出个角的度数，然后设AC′=x，则C′D=x，再利用三角函数的知识表示出C′E、BE、AB、BC′的长即可算出△BC′E的周长和矩形ABCD的周长，进而求得答案．
此题考查了折叠的性质，矩形的性质以及三角函数等知识．解题的关键是找到折叠中的线段的对应关系，角的对应关系，利用三角函数表示出△BC′E和矩形ABCD的长和宽．
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