试题

题目：
青果学院如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，已知DE：AC=5：13，则sin∠CAB=
2
13
13
2
13
13
．
答案
2
13
13

青果学院解：∵四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，
∴∠B=∠AEC=∠ADC=90°，AB=CD=AE，∠EAC=∠BAC，
∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∴∠DCA=∠EAC，
∴FA=CF，
∵AE=CD，
∴DF=EF，
∴
EF
FC
=
DF
AF
，
∵∠DFE=∠AFC，
∴△DEF∽△ACF，
∴
DF
AF
=
DE
AC
=
5
13
，
设DF=5x，则AF=13x，
∴AD=
AF2-DF2
=12x，AB=AE=AF+EF=AF+DF=18x，
∴BC=12x，
∴AC=
AB2+BC2
=6
13
x，
∴sin∠CAB=
BC
AC
=
12x
6
13
x
=
2
13
13
．
故答案为：
2
13
13
．
考点梳理
翻折变换（折叠问题）．
根据题意易得△DEF与△ACF是等腰三角形，且相似，根据相似三角形的对应边成比例，可得DF：AF=5：13，即可设DF=5x，则AF=13x，然后利用勾股定理，即可求得AC，AB，BC的长，继而求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质、折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用．
数形结合．
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