试题

题目：
青果学院（2012·成都模拟）如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部，再延长BG交DC于点F．
（1）判断GF与DF之长是否相等，并说明理由．
（2）若AD=
2
AB，求
DC
DF
的值．
（3）若DC=n·DF，求
AD
AB
的值．
答案
青果学院解：（1）连接EF，
∵△BGE由△BAE翻折而成，
∴∠A=∠EGB=90°，AE=EG，
∵E是AD的中点，
∴AE=EG=DE，
∴
∠EGF=∠D=90°
EG=DE
EF=EF
，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF，
∴GF=DF；

（2）∵AD=
2
AB，四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=
2
CD，
在Rt△BCF中，
∵BC2+CF2=BF2，即BC2+（CD-DF）2=（
1
2
BC+DF）2，整理得
5
2
CD=（2+
2
）DF，
∴
DC
DF
=
4+2
2
5
；

（3）∵GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y
∵DC=n·DF，
∴BF=BG+GF=（n+1）x
在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+[（n-1）x]2=[（n+1）x]2
∴y=2x
n
，
∴
AD
AB
=
y
nx
=
2
n
n

青果学院解：（1）连接EF，
∵△BGE由△BAE翻折而成，
∴∠A=∠EGB=90°，AE=EG，
∵E是AD的中点，
∴AE=EG=DE，
∴
∠EGF=∠D=90°
EG=DE
EF=EF
，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF，
∴GF=DF；

（2）∵AD=
2
AB，四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=
2
CD，
在Rt△BCF中，
∵BC2+CF2=BF2，即BC2+（CD-DF）2=（
1
2
BC+DF）2，整理得
5
2
CD=（2+
2
）DF，
∴
DC
DF
=
4+2
2
5
；

（3）∵GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y
∵DC=n·DF，
∴BF=BG+GF=（n+1）x
在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+[（n-1）x]2=[（n+1）x]2
∴y=2x
n
，
∴
AD
AB
=
y
nx
=
2
n
n
考点梳理
翻折变换（折叠问题）．
（1）连接EF，由图形翻折变换的性质可知，∠A=∠EGB=90°，AE=EG，由HL定理可得出Rt△EGF≌Rt△EDF，故可得出结论；
（2）由AD=
2
AB，四边形ABCD是矩形，可知AD=BC=
2
CD，在Rt△BCF中利用勾股定理即可得出
DC
DF
的值；
（3）GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y，由DC=n·DF，可知BF=BG+GF=（n+1）x，在Rt△BCF中，由BC2+CF2=BF2即可得出结论．
本题考查的是图形的翻折变换及勾股定理，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
探究型．
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