试题

题目:
青果学院如图,等边△ABC中,BD⊥AB,CD⊥AC,P为AB的中点,将△BDP沿DP对折至△EDP,延长PE交AC于点Q,DP,DQ分别交BC于M,N两点,连AE,下列结论:
①∠PDQ=60°;②AE∥DP;③AC=6CQ;④AE=
2
PE
其中正确的有(  )



答案
B
解:如图,
青果学院
(1)连接AD,
△ABC为等边三角形,
∴AB=AC,
∵BD⊥AB,CD⊥AC
∴∠ABD=∠ACD=90°
∵AD=AD
∴△ABD≌△ADC,
∴BD=CD,
且∠BDC=360°-90°×2-60°=120°;
△BDP沿DP对折得到△EDP,
∴BD=DE,∠BDP=∠EDP,∠PBD=∠BED=∠DEQ=90°
∴∠DEQ=∠DCQ
∴CD=DE,又DQ=DQ
∴△DCQ≌△DEQ,
∴∠CDQ=∠EDQ,
∴∠PDQ=∠EDP+∠EDQ=
1
2
(∠BDE+∠CDE)=60°;

(2)△BDP沿DP对折得到△EDP,
∵∠BPD=∠EPD,BP=PE,P为AB的中点,
∴BP=AP,
∴PE=AP
∴∠PAE=∠AEP
又∵∠BPQ=∠PAE+∠AEP=∠BPD+∠EPD
∴∠PAE=∠BPD
∴AE∥DP;

(3)设AB=2a,
则AP=a,AD=
4
3
3
a,BD=DC=
2
3
3
a
青果学院
S△ABC=S△APQ+S四边形BPQC=S△APQ+S五边形BPQCD-S△BDC
2a×
3
1
2
=
1
2
×(2a-x)×
3
2
a+
1
2
(x+a)×
2
3
3
a×2-
1
2
×2a×
2
3
3
1
2

整理解得x=
2
5
a,
即CQ=
2
5
a
AC:CQ=2a:
2
5
a=5
AC=5CQ;

(4)如果AE=
2
PE,
说明△APE是等腰直角三角形,则可以推出C、Q两点重合,与题意不符.
所以假设不成立.
考点梳理
等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质;翻折变换(折叠问题).
(1)连接AD,利用△ABD≌△ADC,证明BD=CD,求得∠BDC=120°,再由对折BD=DE,得出∠BDP=∠EDP,再证明△DCQ≌△DEQ,∠CDQ=∠EDQ,最后求出∠PDQ;
(2)由对折得出∠BPD=∠EPD,BP=PE,P为AB的中点得出BP=AP,推出∠PAE=∠AEP,得出AE∥DP;
(3)设出等边三角形的边长,设出CQ,利用面积解答即可;
(4)假设结果成立,利用前面的推断进一步验证,得出结论即可.
本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定、以及含30度角的直角三角形的性质、三角形的面积、对称的性质等知识点,是一道难度较大的题目.
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