题目:

如图,等边△ABC中,BD⊥AB,CD⊥AC,P为AB的中点,将△BDP沿DP对折至△EDP,延长PE交AC于点Q,DP,DQ分别交BC于M,N两点,连AE,下列结论:
①∠PDQ=60°;②AE∥DP;③AC=6CQ;④AE=
PE
其中正确的有( )
答案
B
解:如图,

(1)连接AD,
△ABC为等边三角形,
∴AB=AC,
∵BD⊥AB,CD⊥AC
∴∠ABD=∠ACD=90°
∵AD=AD
∴△ABD≌△ADC,
∴BD=CD,
且∠BDC=360°-90°×2-60°=120°;
△BDP沿DP对折得到△EDP,
∴BD=DE,∠BDP=∠EDP,∠PBD=∠BED=∠DEQ=90°
∴∠DEQ=∠DCQ
∴CD=DE,又DQ=DQ
∴△DCQ≌△DEQ,
∴∠CDQ=∠EDQ,
∴∠PDQ=∠EDP+∠EDQ=
(∠BDE+∠CDE)=60°;
(2)△BDP沿DP对折得到△EDP,
∵∠BPD=∠EPD,BP=PE,P为AB的中点,
∴BP=AP,
∴PE=AP
∴∠PAE=∠AEP
又∵∠BPQ=∠PAE+∠AEP=∠BPD+∠EPD
∴∠PAE=∠BPD
∴AE∥DP;
(3)设AB=2a,
则AP=a,AD=
a,BD=DC=
a

S
△ABC=S
△APQ+S
四边形BPQC=S
△APQ+S
五边形BPQCD-S
△BDC,
2a×
a×
=
×(2a-x)×
a+
(x+a)×
a×2-
×2a×
a×
整理解得x=
a,
即CQ=
a
AC:CQ=2a:
a=5
AC=5CQ;
(4)如果AE=
PE,
说明△APE是等腰直角三角形,则可以推出C、Q两点重合,与题意不符.
所以假设不成立.