试题

题目：
青果学院如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点A′，且B′C=3，求CN和AM的长．
答案
解：如图，青果学院
∵边长为9的正方形纸片，沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点A′，
∴A′B′=AB=9，NB′=NB，∠NB′A′=∠B=90°，
设CN=x，则NB=9-x，NB′=9-x，
在Rt△NCB′，B′C=3，
∵NC2+B′C2=NB′2，
∴x2+32=（9-x）2，解得x=4，
∴CN=4，NB′=9-4=5，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴Rt△B′DE∽Rt△NCB′，
∴
DB′
NC
=
DE
B′C
=
B′E
NB′
，
而DB′=DC-CB′=6，
∴
DE
3
=
B′E
5
=
6
4
，
∴DE=
9
2
，B′E=
15
2
，
∴A′E=A′B′-B′E=9-
15
2
=
3
2
，
∵∠5=∠4，
∴Rt△MA′E∽Rt△B′DE，
∴
ME
B′E
=
A′E
DE
，即
ME
15
2
=
3
2
9
2
，
∴ME=
5
2
，
∴AM=AD-ME-DE=9-
5
2
-
9
2
=2，
故CN的长为4，AM的长为2．
解：如图，青果学院
∵边长为9的正方形纸片，沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点A′，
∴A′B′=AB=9，NB′=NB，∠NB′A′=∠B=90°，
设CN=x，则NB=9-x，NB′=9-x，
在Rt△NCB′，B′C=3，
∵NC2+B′C2=NB′2，
∴x2+32=（9-x）2，解得x=4，
∴CN=4，NB′=9-4=5，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴Rt△B′DE∽Rt△NCB′，
∴
DB′
NC
=
DE
B′C
=
B′E
NB′
，
而DB′=DC-CB′=6，
∴
DE
3
=
B′E
5
=
6
4
，
∴DE=
9
2
，B′E=
15
2
，
∴A′E=A′B′-B′E=9-
15
2
=
3
2
，
∵∠5=∠4，
∴Rt△MA′E∽Rt△B′DE，
∴
ME
B′E
=
A′E
DE
，即
ME
15
2
=
3
2
9
2
，
∴ME=
5
2
，
∴AM=AD-ME-DE=9-
5
2
-
9
2
=2，
故CN的长为4，AM的长为2．
考点梳理
翻折变换（折叠问题）．
根据折叠的性质得到A′B′=AB=9，NB′=NB，∠NB′A′=∠B=90°，设CN=x，则NB=9-x，NB′=9-x，在Rt△NCB′，利用勾股定理了计算出x=4，即CN=4，得到NB′=9-4=5，根据三角形相似的判定方法易得Rt△B′DE∽Rt△NCB′，则
DB′
NC
=
DE
B′C
=
B′E
NB′
，可分别计算出DE=
9
2
，B′E=
15
2
，于是A′E=A′B′-B′E=9-
15
2
=
3
2
；然后再证明Rt△MA′E∽Rt△B′DE，得到
ME
B′E
=
A′E
DE
，即
ME
15
2
=
3
2
9
2
，可计算出ME=
5
2
，最后利用AM=AD-ME-DE可求出AM的长．
本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了正方形的性质、勾股定理和相似三角形的判定与性质．
计算题．
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