试题

操作探究：
数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，出示如图1所示的长方形纸条ABCD，其中AD=BC=1，AB=CD=5．然后在纸条上任意画一条截线段MN，将纸片沿MN折叠，MB与DN交于点K，得到△MNK．如图2所示：

探究：
（1）若∠1=70°，∠MKN=°；
（2）改变折痕MN位置，△MNK始终是 三角形，请说明理由；
应用：
（3）爱动脑筋的小明在研究△MNK的面积时，发现KN边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快研究出△KMN的面积最小值为

1

2

，此时∠1的大小可以为°
（4）小明继续动手操作，发现了△MNK面积的最大值．请你求出这个最大值．

解：（1）如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AM∥DN．
∴∠KNM=∠1．
∵∠1=70°，
∴∠KNM=∠KMN=∠1=70°，
∴∠MKN=40°．
故答案为：40；

（2）等腰，
理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠MND，
∵将纸片沿MN折叠，∴∠1=∠KMN，∠MND=∠KMN，
∴KM=KN；
故答案为：等腰；

（3）如图2，当△KMN的面积最小值为

1

2

时，KN=BC=1，故KN⊥B′M，
∵∠NMB=∠KMN，∠KMB=90°，
∴∠1=∠NMB=45°，同理当将纸条向下折叠时，∠1=∠NMB=135°，
故答案为：45°或135°（只要写出一个即可）；   

（4）分两种情况：
情况一：如图3，将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合．
MK=MB=x，则AM=5-x．
由勾股定理得1²+（5-x）²=x²，
解得x=2.6．
∴MD=ND=2.6．
S_△MNK=S_△MND=

1

2

×1×2.6=1.3．
情况二：如图4，将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC．
MK=AK=CK=x，则DK=5-x．
同理可得MK=NK=2.6．
∵MD=1，
∴S_△MNK=

1

2

×1×2.6=1.3．
△MNK的面积最大值为1.3．