试题

如图，已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外一点且∠ABD=60°，∠ADB=90°-

1

2

∠BDC．求证：AC=BD+CD．

证明：以AD为轴作△ABD的对称△AB′D（如图），
则有B′D=BD，AB′=AB=AC，
∠B′=∠ABD=60°，∠ADB′=∠ADB=90°-

1

2

∠BDC，
所以∠ADB′+∠ADB+∠BDC=180°-∠BDC+∠BDC=180°，
所以C、D、B′在一条直线上，
所以△ACB′是等边三角形，
所以CA=CB′=CD+DB′=CD+BD．
证明：以AD为轴作△ABD的对称△AB′D（如图），
则有B′D=BD，AB′=AB=AC，
∠B′=∠ABD=60°，∠ADB′=∠ADB=90°-

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∠BDC，
所以∠ADB′+∠ADB+∠BDC=180°-∠BDC+∠BDC=180°，
所以C、D、B′在一条直线上，
所以△ACB′是等边三角形，
所以CA=CB′=CD+DB′=CD+BD．