试题

已知k、a都是正整数，2004k+a、2004（k+1）+a都是完全平方数．
（1）请问这样的有序正整数（k，a）共有多少组？
（2）试指出a的最小值，并说明理由．

解：（1）设2004k+a=m²，①
2004（k+1）+a=n²，②
这里m、n都是正整数，则n²-m²=2004．
故（n+m）（n-m）=2004=2×2×3×167．
注意到，m+n、n-m的奇偶性相同，则

n+m=1 002 n-m=2

    或

n+m=334 n-m=6.

解得

n=502 m=500

    或

n=170 m=164.

当n=502，m=500时，由式①得2004k+a=250000．
即：a=250000-2004k  ③．∵k、a都是正整数，
∴k＞0，250000-2004k＞0，
解得：0＜k＜124.75…．      
∴k可以取值1，2，…，124，相应得满足要求的正整数数组（k，a）共124组．
当n=170，m=164时，由式①得2004k+a=26896．
即a=26896-2004k  ④．
∵k、a都是正整数，
∴k＞0，26896-2004k＞0，
解得：0＜k＜13.42…．      
∴k可以取值1，2，…，13，相应得满足要求的正整数数组（k，a）共13组．
从而，满足要求的正整数数组（k，a）共有：124+13=137（组）．
故这样的有序正整数（k，a）共有137组；

（2）由③、④可知a是k的一次函数，且a随k的增大而减小，
即当k取最大值时，a有最小值．
对于③，当k=124时，a=1504，
对于④，当k=13时，a=844．
故a的最小值应为844．
解：（1）设2004k+a=m²，①
2004（k+1）+a=n²，②
这里m、n都是正整数，则n²-m²=2004．
故（n+m）（n-m）=2004=2×2×3×167．
注意到，m+n、n-m的奇偶性相同，则

n+m=1 002 n-m=2

    或

n+m=334 n-m=6.

解得

n=502 m=500

    或

n=170 m=164.

当n=502，m=500时，由式①得2004k+a=250000．
即：a=250000-2004k  ③．∵k、a都是正整数，
∴k＞0，250000-2004k＞0，
解得：0＜k＜124.75…．      
∴k可以取值1，2，…，124，相应得满足要求的正整数数组（k，a）共124组．
当n=170，m=164时，由式①得2004k+a=26896．
即a=26896-2004k  ④．
∵k、a都是正整数，
∴k＞0，26896-2004k＞0，
解得：0＜k＜13.42…．      
∴k可以取值1，2，…，13，相应得满足要求的正整数数组（k，a）共13组．
从而，满足要求的正整数数组（k，a）共有：124+13=137（组）．
故这样的有序正整数（k，a）共有137组；

（2）由③、④可知a是k的一次函数，且a随k的增大而减小，
即当k取最大值时，a有最小值．
对于③，当k=124时，a=1504，
对于④，当k=13时，a=844．
故a的最小值应为844．