试题

题目：
设正三角形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是边BC上的任意一点，PA+PM的最大值和最小值分别记为s和t，则s2-t2=
4
3
4
3
．
答案
4
3

青果学院解：如图，作M关于BC的对称点M′与A的连线AM′与BC交点时PA+PM取最小值t，
当P与C重合时为最大值s=2+
3
，
过A作AD⊥M′M交其延长线于D，易知M′D=3MH=
3
3
2
，
又因为AD=
1
2
，所以PM+PA=PM′+PA=AM′=
7
（勾股定理），
故s-t=2+
3
-
7
，
s2-t2=4
3
．
故答案为：4
3
．
考点梳理
轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质；勾股定理．
先M关于BC的对称点M′与A的连线AM′与BC交点时PA+PM取最小值t，当P与C重合时为最大值s，再根据特殊角的三角函数值及勾股定理分别求出s、t的值即可．
本题考查的是最短路线问题，根据题意分别作出各点的对称点，即辅助线是解答此题的关键．
探究型．
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