试题

题目：
青果学院已知△ABC中，AB=3，∠BAC=120°，AC=1，D为AB延长线上一点，BD=1，点E在∠BAC的平分线上，且△ADE是等边三角形，则点C到BE的距离为
39
2
39
2
．
答案
39
2

青果学院解：连接CE，过点C作CN⊥BE于点N，过点B作BF⊥DE于点F，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠D=∠DAE=∠DEA=60°，AE=DE=AB，
∵∠BAC=120°，
∴∠EAC=60°，
在△DBE和△ACE中
DB=AC
∠D=∠CAE
DE=AE
，
∴△DBE≌△ACE（SAS），
∴∠AEC=∠DEB，EC=BE，
∵∠DEA=60°，
∴∠BEC=60°，
∴△CBE是等边三角形，
∵BD=1，∠D=60°，
∴BF=1×sin60°=
3
2
，DF=
1
2
BD=
1
2
，
∴EF=4-
1
2
=
7
2
，
∴BE=
(
3
2
)2+(
7
2
)2
=
13
，
∴CE=
13
，
∴CN=CE×sin60°=
13
×
3
2
=
39
2
．
故答案为：
39
2
．
考点梳理
等边三角形的判定与性质；勾股定理．
首先利用等边三角形的性质得出对应边、角之间的关系，进而得出△DBE≌△ACE，进而得出△CBE是等边三角形，再利用勾股定理以及锐角三角函数关系得出BE以及CN的长．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质以及勾股定理、锐角三角函数的概念，根据已知得出等边△CBE的边长是解题关键．
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