试题

题目：
青果学院（2013·松江区模拟）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，D为BC中点，连结AD，过点D作DE⊥AD，交AB的延长线于E．
（1）若AD=
7
，求△ABC的面积；
（2）求
BE
AB
的值．
答案
青果学院解：（1）∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，
∴∠C=30°，
∴AC=2AB
设AB=k，则AC=2k，BC=
3
k，
∵D为BC中点，
∴BD=DC=
3
2
k
在Rt△ABD中，AB2+BD2=AD2，AD=
7

∴k2+（
3
2
k）2=（
7
）2
∴k=2
∴AB=2，BC=2
3

∴S△ABC=
1
2
BC·AB=
1
2
×2
3
×2=2
3
；

（2）∵AD⊥DE，
∴∠ADE=90°，
∴∠DAE+∠E=90°
∵∠ABC=90°，
∴∠DAE+∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠E
∵∠ABD=∠DBE=90°，
∴△ABD∽△DBE
∴
AB
BD
=
BD
BE

∴
k
3
2
k
=
3
2
k
BE
，
∴BE=
3
4
k
∴
BE
AB
=
3
4
k
k
=
3
4
．
青果学院解：（1）∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，
∴∠C=30°，
∴AC=2AB
设AB=k，则AC=2k，BC=
3
k，
∵D为BC中点，
∴BD=DC=
3
2
k
在Rt△ABD中，AB2+BD2=AD2，AD=
7

∴k2+（
3
2
k）2=（
7
）2
∴k=2
∴AB=2，BC=2
3

∴S△ABC=
1
2
BC·AB=
1
2
×2
3
×2=2
3
；

（2）∵AD⊥DE，
∴∠ADE=90°，
∴∠DAE+∠E=90°
∵∠ABC=90°，
∴∠DAE+∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠E
∵∠ABD=∠DBE=90°，
∴△ABD∽△DBE
∴
AB
BD
=
BD
BE

∴
k
3
2
k
=
3
2
k
BE
，
∴BE=
3
4
k
∴
BE
AB
=
3
4
k
k
=
3
4
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；勾股定理．
（1）Rt△ABC中，∠C所对的直角边是斜边的一半，则AC=2AB．设AB=k，则AC=2k，BC=
3
k；然后，由中点的性质、结合在Rt△ABD中的勾股定理求得k的值；最后，根据直角三角形的面积公式来求△ABC的面积；
（2）由相似三角形△ABD∽△DBE的对应边成比例证得
AB
BD
=
BD
BE
，然后把相关线段的长度代入该比例式即可求得线段BE的长度，再将其代入所求的代数式求值即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用．勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
找相似题