试题

（2007·安徽）如图，DE分别是△ABC的边BC和AB上的点，△ABD与△ACD的周长相等，△CAE与△CBE的周长相等．设BC=a，AC=b，AB=c．
（1）求AE和BD的长；
（2）若∠BAC=90°，△ABC的面积为S，求证：S=AE·BD．

（1）解：∵△ABD与△ACD的周长相等，BC=a，AC=b，AB=c，
∴AB+BD=AC+CD=

a+b+c

2

．
∴BD=

a+b+c

2

-c=

a+b-c

2

，
同理AE=

a-b+c

2

；

（2）证明：∵∠BAC=90°，
∴c²+b²=a²，S=

1

2

bc，
由（1）知AE·BD=

a-b+c

2

×

a+b-c

2

=

a2-(b-c)2

4

=

1

4

（a²-b²-c²+2bc）=

1

2

bc，
即S=AE·BD
（1）解：∵△ABD与△ACD的周长相等，BC=a，AC=b，AB=c，
∴AB+BD=AC+CD=

a+b+c

2

．
∴BD=

a+b+c

2

-c=

a+b-c

2

，
同理AE=

a-b+c

2

；

（2）证明：∵∠BAC=90°，
∴c²+b²=a²，S=

1

2

bc，
由（1）知AE·BD=

a-b+c

2

×

a+b-c

2

=

a2-(b-c)2

4

=

1

4

（a²-b²-c²+2bc）=

1

2

bc，
即S=AE·BD