试题

题目：
（2009·白下区一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，∠ABC=30°．D是CB上一点，DC=1cm．P、Q是直线CB上的两个动点，点P从C点出发，以1cm/s的速度沿直线CB向右运动，同时，点Q从D点出发，以2cm/s的速度沿直线CB向右运动，以PQ为一边在CB的上方作等边三角形PQR，下图是其运动过程中的某一位置．设运动的时间是t（s）．
（1）△PQR的边长是
（t+1）
（t+1）
cm（用含有t的代数式表示）；
（2）若等边△PQR与△ABC重叠部分的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
青果学院
答案
（t+1）

解：（1）△PQR的边长PQ=CQ-CP=（CD+DP）-CP=（1+2t）-t=（t+1）cm；
故答案为：（t+1）；
青果学院

（2）当0≤t＜
4
3
时，如图1：易得重叠部分为一个小等边三角形其边长为t+1，
则重叠部分的面积y=
3
4
（t+1）2；（5分）
当
4
3
≤t＜
5
2
时，如图2：易得重叠部分为四边形MNQP，
∵∠B=30°，且△RPQ为等边三角形，得到∠RPQ=∠R=60°，
∴∠PMN=90°，且PB=BC-CP=6-t，∠RNM=30°，
∴PM=
1
2
（6-t），故MR=PR-PM=（t+1）-
1
2
（6-t）=
1
2
（3t-4），
∴MN=MR·tan60°=
3
2
（3t-4），
则重叠部分的面积y=
3
4
（t+1）2-
3
8
（3t-4）2
=-
7
3
8
t2+
7
3
2
t-
7
3
4

=-
7
3
8
（t-2）2+
7
3
4
；（8分）
当
5
2
≤t＜6时，如图3：同理可得y=
3
8
（6-t）2；（11分）
当t≥6时，如图4：可得y=0．（12分）
考点梳理
相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理．
（1）根据题意，直接将△PQR的三边相加即可得出含t的表达式；易得△QRB为等腰三角形，可得到QB=QR=QP=t+1；
（2）易得重叠部分为一个小等边三角形，依题意根据重叠部分图形的形状分四种情况考虑：如图分别画出图形，图形1根据等边三角形的边长为t+1，表示出重叠部分的面积y；图形2，用等边三角形RPQ的面积减去三角形RMN的面积，首先由等边三角形的性质得到内角为60°，再由∠B=30°可得MN与RP垂直，可得三角形RMN为直角三角形，由30°所对的直角边等于斜边的一半，先表示出PB的长，进而表示出MP的长，用RP-MP可得PM的长，再利用锐角三角函数表示出MN的长，即可表示出三角形RMN的面积，可表示出重叠部分的面积；图形3，同理可得重叠部分的面积；图形4，根据图形可得重叠部分的面积为0．
本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，以及相似三角形的判定与性质，是一道动态几何题，综合性较强，有一定的难度．特别是第二问动点P和Q运动过程中，与三角形ABC重叠部分存在四种情况，学生应借助图形，利用分类讨论的思想来解决问题．
动点型；数形结合；分类讨论．
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