试题

（2009·江东区模拟）有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2，AD=5，把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN，MN交AB于M，交AD于N．
（1）已知BC上的点E，试画出折痕MN的位置，并保留作图痕迹．
（2）若BE=

2

，试求出AM的长．
（3）当点E在BC上运动时，设BE=x，AN=y，试求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
（4）连接DE，是否存在这样的点E，使△AME与△DNE相似？若存在，请求出这时BE的长，若不存在，请说明理由．

解：（1）连接AE，并作AE的中垂线，交AB与M、交AD与N．如图：（3分）

（2）连接ME，如图1，
∵BE=

2

，
设BM=x，则ME=2-x，
由勾股定理可得：BM²+BE²=ME²，
∴2+x²=（2-x）²，
∴2+x²=4-4x+x²，
∴x=

1

2

，
∴AM=

3

2

；


（3）延长NM交CB延长线于G点，如图2，
∵BE=x，令BM=a，
则a²+x²=（2-a）²，
a²+x²=4-4a+a²，
∴a=

4-x2

4

，
∴AM=2-

4-x2

4

=

4+x2

4

，
∵AN=y，
∴GB=y-x，
∵△GBM∽△ANM，
∴

GB

AN

=

BM

AM

，
即：

y-x

y

=

4-x2 4

4+x2 4

=

4-x2

4+x2

，
∴y=

4+x2

2x

，（8分）
∵0＜x≤2，0＜y≤5，
∴5-

21

≤x≤2；（9分）

（4）若BC上存在点E，如图3，使△AME∽△DNE，
∵AM=ME，
∴∠MAE=∠MEA，
又∵EN=ND，
∴∠NDE=∠NED，
∵AD∥BC，
∴∠NED=∠DEC，
要使△AME∽△DNE，
则△ABE∽△DEC，
∴

AB

EC

=

BE

CD

，
∴

2

5-x

=

x

2

，
∴x²-5x+4=0，
解得：x₁=4（舍去），x₂=1，
∴BE=1，存在点E．（12分）
解：（1）连接AE，并作AE的中垂线，交AB与M、交AD与N．如图：（3分）

（2）连接ME，如图1，
∵BE=

2

，
设BM=x，则ME=2-x，
由勾股定理可得：BM²+BE²=ME²，
∴2+x²=（2-x）²，
∴2+x²=4-4x+x²，
∴x=

1

2

，
∴AM=

3

2

；


（3）延长NM交CB延长线于G点，如图2，
∵BE=x，令BM=a，
则a²+x²=（2-a）²，
a²+x²=4-4a+a²，
∴a=

4-x2

4

，
∴AM=2-

4-x2

4

=

4+x2

4

，
∵AN=y，
∴GB=y-x，
∵△GBM∽△ANM，
∴

GB

AN

=

BM

AM

，
即：

y-x

y

=

4-x2 4

4+x2 4

=

4-x2

4+x2

，
∴y=

4+x2

2x

，（8分）
∵0＜x≤2，0＜y≤5，
∴5-

21

≤x≤2；（9分）

（4）若BC上存在点E，如图3，使△AME∽△DNE，
∵AM=ME，
∴∠MAE=∠MEA，
又∵EN=ND，
∴∠NDE=∠NED，
∵AD∥BC，
∴∠NED=∠DEC，
要使△AME∽△DNE，
则△ABE∽△DEC，
∴

AB

EC

=

BE

CD

，
∴

2

5-x

=

x

2

，
∴x²-5x+4=0，
解得：x₁=4（舍去），x₂=1，
∴BE=1，存在点E．（12分）