试题

已知四边形ABCD中，BC=DC，对角线AC平分∠BAD．
（1）作CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分别为垂足．求证：△BCE≌△DCF．
（2）如果AB=21，AD=9．BC=DC=10，求对角线AC的长．

（1）证明：∵AC平分∠BAD，且CE⊥AB，CF⊥AD；
∴CF=CE；
又∵CD=BC；
∴Rt△BCE≌Rt△DCF．

（2）解：取AG=AD，作CH⊥AB，垂足为H，
得△ADC≌△AGC，
∴AG=AD=9，CG=CD=10；
∴CG=CB；
∴△CGB为等腰三角形．
∵GB=AB-AG=21-9=12，GH=HB=6；
∴CH²=100-36=64，
∴CH=8；
∴AH=AG+GH=9+

1

2

GB=9+6=15；
Rt△ACH中，AC²=AH²+CH²=15²+8²=17²
∴AC=17．
（1）证明：∵AC平分∠BAD，且CE⊥AB，CF⊥AD；
∴CF=CE；
又∵CD=BC；
∴Rt△BCE≌Rt△DCF．

（2）解：取AG=AD，作CH⊥AB，垂足为H，
得△ADC≌△AGC，
∴AG=AD=9，CG=CD=10；
∴CG=CB；
∴△CGB为等腰三角形．
∵GB=AB-AG=21-9=12，GH=HB=6；
∴CH²=100-36=64，
∴CH=8；
∴AH=AG+GH=9+

1

2

GB=9+6=15；
Rt△ACH中，AC²=AH²+CH²=15²+8²=17²
∴AC=17．