试题

题目：
青果学院（2009·建邺区二模）用三个全等的直角三角形△AEF、△BDF和△CDE拼成如图所示的大的正三角形，已知大的正三角形的边长是3，则下列叙述中正确的是
124
124
．
①∠A=60°；②△DEF是等边三角形；③△DEF的边长为2；④△DEF的面积为
3
4
3
．
答案
124

解：∵△ACB为等边三角形
∴∠A=60°
∴△AEF≌△BDF≌△CDE
∴ED=EF=BF
∴△EFD是全等三角形
已知∠A=60°，∠EFD=60°，∠EFA=90°
∴∠DFB=30°
∴DB=1，BF=2
∴DF=
3
，
∴△DEF的边长为
3
．
∵△DEF的高为
3
2
，
∴面积为
3
3
4
．
考点梳理
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
由题可知△AEF≌△BDF≌△CDE，从而推EFD是全等三角形，因为已知∠A=60°，∠EFD=60°，∠EFA=90°，所以∠DFB=30°，因此DB=1，BF=2，可推出DF=
3
，故△DEF的边长为
3
．而△DEF的高为
3
2
，所以面积为
3
3
4
．
本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理的有关知识，难度中等．
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