试题

题目：
青果学院如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，AE∥BC，F是AD的中点；
（1）说明AE=
1
2
BC；
（2）若AD=15，BC=8，求BE的长度．
答案
解：（1）∵AE∥BC，
∴∠E=∠DBF，∠EAF=∠BDF，
∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
在△EAF与△BDF中，
∠E=∠DBF
∠EAF=∠BDF
AF=FD
，
∴△EAF≌△BDF（AAS），
∴AE=BD，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=
1
2
BC，
∴AE=
1
2
BC；

（2）由（1）得△EAF≌△BDF，
∴AF=DF，BF=EF，
∵AD=15，BC=8，
∴DF=
15
2
，BD=4，
∵△BDF是直角三角形，
∴由勾股定理得：BF=
BD2+DF2
=
42+(
15
2
)2
=
289
4
=
17
2
，
∴BE=2BF=2×
17
2
=17．
解：（1）∵AE∥BC，
∴∠E=∠DBF，∠EAF=∠BDF，
∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
在△EAF与△BDF中，
∠E=∠DBF
∠EAF=∠BDF
AF=FD
，
∴△EAF≌△BDF（AAS），
∴AE=BD，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=
1
2
BC，
∴AE=
1
2
BC；

（2）由（1）得△EAF≌△BDF，
∴AF=DF，BF=EF，
∵AD=15，BC=8，
∴DF=
15
2
，BD=4，
∵△BDF是直角三角形，
∴由勾股定理得：BF=
BD2+DF2
=
42+(
15
2
)2
=
289
4
=
17
2
，
∴BE=2BF=2×
17
2
=17．
考点梳理
全等三角形的判定与性质；勾股定理．
（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠E=∠DBF，∠EAF=∠BDF，再根据中点定义求出AF=FD，然后利用角角边证明△EAF与△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BD，再根据等腰三角形三线合一的性质BD=
1
2
BC，从而得证；
（2）先根据中点定义求出BD、DF的长度，然后利用勾股定理求出BF的长度，BE=2BF代入进行计算即可得解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，以及平行线的性质，熟记各性质是解题的关键．
几何综合题．
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