试题

如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AM∥BC，点P在线段BC上以每秒2个单位的速度由B点向C点运动，点Q在线段BA上以每秒1个单位的速度由B点向A点运动，在运动中，始终保持∠QPD=∠B，且PD交AC于点E，交AM于点D，当P点运动到C点时，Q点随之停止运动．设运动时间为t（秒）．
（1）当t=4秒时，试证明：△BPQ≌△CEP；
（2）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）当t为何值时？使得

S △ADE

S△CPE

=

1

4

．

解：（1）如图，
由题得：BQ=t，BP=2t，则CP=12-2t，
当t=4秒时，BQ=PC=4，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠QPD+∠2=∠B+∠1，
又∵∠QPD=∠B，
∴∠1=∠2，
在△BPQ和△CEP中，
∵

∠1=∠2 BQ=CP ∠B=∠C

，
∴△BPQ≌△CEP，

（2）作AF⊥BC，QG⊥BC，垂足分别为F，G，
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=

1

2

BC=6，
∴AF=

AB2-BF2

=8；
∵AF⊥BC，QG⊥BC，
∴QG∥AF，
∴△BGQ∽△BFA，
∴

BQ

BA

=

QG

AF

，即

t

10

=

QG

8

，
∴QG=

4

5

t，
∴s=

1

2

×2t×

4

5

t=

4

5

t²（0＜t≤6）；

（3）∵AM∥BC，
∴△ADE∽△CPE，
∴

AE

CE

=

S△ADE S△CPE

=

1 4

=

1

2

，
∵AE+CE=AC=10，
∴AE=

10

3

，CE=

20

3

，
∵∠B=∠C，∠1=∠2，
∴△BPQ∽△CEP，
∴

BP

CE

=

BQ

CP

，即

2t

20 3

=

t

12-2t

，
∴t=

13

3

（秒）．
解：（1）如图，
由题得：BQ=t，BP=2t，则CP=12-2t，
当t=4秒时，BQ=PC=4，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠QPD+∠2=∠B+∠1，
又∵∠QPD=∠B，
∴∠1=∠2，
在△BPQ和△CEP中，
∵

∠1=∠2 BQ=CP ∠B=∠C

，
∴△BPQ≌△CEP，

（2）作AF⊥BC，QG⊥BC，垂足分别为F，G，
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=

1

2

BC=6，
∴AF=

AB2-BF2

=8；
∵AF⊥BC，QG⊥BC，
∴QG∥AF，
∴△BGQ∽△BFA，
∴

BQ

BA

=

QG

AF

，即

t

10

=

QG

8

，
∴QG=

4

5

t，
∴s=

1

2

×2t×

4

5

t=

4

5

t²（0＜t≤6）；

（3）∵AM∥BC，
∴△ADE∽△CPE，
∴

AE

CE

=

S△ADE S△CPE

=

1 4

=

1

2

，
∵AE+CE=AC=10，
∴AE=

10

3

，CE=

20

3

，
∵∠B=∠C，∠1=∠2，
∴△BPQ∽△CEP，
∴

BP

CE

=

BQ

CP

，即

2t

20 3

=

t

12-2t

，
∴t=

13

3

（秒）．