试题

如图①，已知直线a∥b，点A、B是a上的点，点C是b上的点，AB=AC=5，BC=6，点O是BC的中点，P是线段AB上的一动点（不与B重合），连接PO并延长交b于点Q．
（1）P在运动时，图中变化的线段中有始终保持相等的吗？请你指出其中的一对，并证明你的结论；
（2）当P运动到什么位置时，以O，C，Q为顶点的三角形与△AOC相似？在图②中画出相关图形，标上字母，说明理由，并求出OQ的值．

解：（1）P在运动时，图中变化的线段中有始终保持相等的．
如PO=OQ，CQ=PB．
理由：∵a∥b，
∴∠ABC=∠BCQ．
∵OC=OB，∠COQ=∠BOP，
∴△OCQ∽△OBP．
∴PO=OQ，CQ=PB．（2分）

（2）分两种情况（只有一种情况时扣2分）
①当OP⊥AB时，△OCQ与△AOC相似如图2，
∵a∥b，
∴∠CQP=90°，∠QCO=∠PBO．
∵AC=AB，CO=OB，
∴∠AOC=90°，∠ACO=∠PBO．
∴∠AOC=∠PQC，∠QCO=∠ACO．
∴△ADC∽△OCQ．
②当点A与P重合时，AC=AB，CO=BO，
∴AQ⊥BC．
又∵AO=OQ，
∴△AOC≌△QOC．
此时OQ=OA，（8分）
∴AB=AC=5，BC=6．
∴OC=3．
∴AO=

AC2-CO2

=4．
S_△ABC=

1

2

BC·AO=

1

2

×6×4=12
∴

1

2

AB×PQ=12
∴PQ=

24

5

∴OQ=

1

2

PQ=

12

5

．（6分）
解：（1）P在运动时，图中变化的线段中有始终保持相等的．
如PO=OQ，CQ=PB．
理由：∵a∥b，
∴∠ABC=∠BCQ．
∵OC=OB，∠COQ=∠BOP，
∴△OCQ∽△OBP．
∴PO=OQ，CQ=PB．（2分）

（2）分两种情况（只有一种情况时扣2分）
①当OP⊥AB时，△OCQ与△AOC相似如图2，
∵a∥b，
∴∠CQP=90°，∠QCO=∠PBO．
∵AC=AB，CO=OB，
∴∠AOC=90°，∠ACO=∠PBO．
∴∠AOC=∠PQC，∠QCO=∠ACO．
∴△ADC∽△OCQ．
②当点A与P重合时，AC=AB，CO=BO，
∴AQ⊥BC．
又∵AO=OQ，
∴△AOC≌△QOC．
此时OQ=OA，（8分）
∴AB=AC=5，BC=6．
∴OC=3．
∴AO=

AC2-CO2

=4．
S_△ABC=

1

2

BC·AO=

1

2

×6×4=12
∴

1

2

AB×PQ=12
∴PQ=

24

5

∴OQ=

1

2

PQ=

12

5

．（6分）