试题

如图，△ABD、△CBD都是等边三角形，DE、BF分别是△ABD的两条高，DE、BF交于点G．
（1）求∠BGD的度数；
（2）连接CG，①求证：BG+DG=CG；②求

AB

CG

的值．

解：（1）∵△ABD是等边三角形，E是AB中点，
∴∠ADE=∠BDE=30°，
∴∠CDG=∠CDB+∠BDE=60°+30°=90°，
同理∠CBG=90°，
∴∠BGD=360°-（60°+90°+90°）=120°；
（2）①证明：∵·CD=CB，CG=CG，
∴由勾股定理可得BG=DG，
∴△CBG≌△CDG（SSS），
∴∠DCG=∠BCG=

1

2

∠BCD=30°，
∴在Rt△CGB和Rt△CGD中，BG=DG=

1

2

CG，
∴BG+DG=CG；
②·设BG=x，由①得：CG=2x，
在Rt△CGB中，BC²=CG²-BG²=4x²-x²=3x²，
又∵AB=BC，
∴AB²=BC²=3x²，
则

AB

CG

=

3

2

．
解：（1）∵△ABD是等边三角形，E是AB中点，
∴∠ADE=∠BDE=30°，
∴∠CDG=∠CDB+∠BDE=60°+30°=90°，
同理∠CBG=90°，
∴∠BGD=360°-（60°+90°+90°）=120°；
（2）①证明：∵·CD=CB，CG=CG，
∴由勾股定理可得BG=DG，
∴△CBG≌△CDG（SSS），
∴∠DCG=∠BCG=

1

2

∠BCD=30°，
∴在Rt△CGB和Rt△CGD中，BG=DG=

1

2

CG，
∴BG+DG=CG；
②·设BG=x，由①得：CG=2x，
在Rt△CGB中，BC²=CG²-BG²=4x²-x²=3x²，
又∵AB=BC，
∴AB²=BC²=3x²，
则

AB

CG

=

3

2

．