试题

题目：
青果学院（2004·湖州）如图，在半径为9，圆心角为90°的扇形OAB的
AB
上有一动点P，PH⊥OA，垂足为H，设G为△OPH的重心（三角形的三条中线的交点），当△PHG为等腰三角形时，PH的长为
3或
3
2
6
3或
3
2
6
．
答案
3或
3
2
6

青果学院解：如图，MH，NP是Rt△OPH的两条中线，交点为G，
∵MN∥PH，MN=
1
2
PH
∴MN⊥OH
设PH=x
（1）当PG=PH=x时，
∵MN∥PH，
∴
NG
PG
=
MN
PH
=
1
2

∴NG=
1
2
x
∵NH2=NP2-PH2=（
3
2
x）2-x2=
5
4
x2，ON2+MN2=OM2
∵ON=NH，
∴
5
4
x2+（
1
2
x）2=（
9
2
）2
∴x=
3
2
6
；

（2）当PH=GH=x时，
同理得x=3；

（3）当GH=PG时，G点在线段PH的中垂线上，G点不是三角形的重心了．
所以PH的长为3或
3
2
6
．
考点梳理
勾股定理；等腰三角形的性质．
题中只说△PHG为等腰三角形．没有指明哪个是底哪个是腰，则应该分三种情况进行分析，从而求得PH的长．
本题考查了三角形重心的概念，中位线定理，相似比，勾股定理等知识，还涉及了分类讨论的思想，具有较强的综合性．
压轴题；动点型．
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