试题

如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别是BC、AC上任意一点，
（1）求证：AD²+BE²=AB²+DE²；
（2）若BC、AC、AB三边长分别为a、b、c，且a、b、c均为整数，求证：a、b中必有一个是3的倍数．

证明：（1）∵∠C=90°，由勾股定理可得：
AD²=AC²+CD²，BE²=CE²+BC²，
又∵CD²+CE²=DE²，AC²+BC²=AB²，
∴AD²+BE²=AC²+BC²+CD²+CE²=AB²+DE²；

（2）根据题意有：a²+b²=c²，其中a、b、c均为整数．
①若a、b、c都不是3的倍数，则它们可表示为3n+1或3n-1的形式（n为正整数），
∵（3n±1）²=9n²±6n+1，
∴a²+b²≡2（mod 3），c²≡1（mod 3）．
故a²+b²≠c²．矛盾．
因此，a、b、c中至少有一个是3的倍数
②若c是3的倍数，且a、b都不是3的倍数，
则a²+b²≡2（mod 3），c²≡0（mod 3）．
故a²+b²≠c²，矛盾．
故c不是3的倍数．
∴a、b中至多有一个是3的倍数．
证明：（1）∵∠C=90°，由勾股定理可得：
AD²=AC²+CD²，BE²=CE²+BC²，
又∵CD²+CE²=DE²，AC²+BC²=AB²，
∴AD²+BE²=AC²+BC²+CD²+CE²=AB²+DE²；

（2）根据题意有：a²+b²=c²，其中a、b、c均为整数．
①若a、b、c都不是3的倍数，则它们可表示为3n+1或3n-1的形式（n为正整数），
∵（3n±1）²=9n²±6n+1，
∴a²+b²≡2（mod 3），c²≡1（mod 3）．
故a²+b²≠c²．矛盾．
因此，a、b、c中至少有一个是3的倍数
②若c是3的倍数，且a、b都不是3的倍数，
则a²+b²≡2（mod 3），c²≡0（mod 3）．
故a²+b²≠c²，矛盾．
故c不是3的倍数．
∴a、b中至多有一个是3的倍数．