试题

在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为

5

、

10

、

13

，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．
（1）△ABC的面积为：．
（2）若△DEF三边的长分别为

5

、

8

、

17

，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积为．
（3）如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．
（4）如图4，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为13m²、25m²、36m²，则六边形花坛ABCDEF的面积是m²．

解：（1）△ABC的面积=3×3-

1

2

×2×1-

1

2

×3×1-

1

2

×2×3=，
=9-1-1.5-3，
=9-5.5，
=3.5；

（2）△DEF如图2所示；
面积=2×4-

1

2

×1×2-

1

2

×2×2-

1

2

×1×4，
=8-1-2-2，
=8-5，
=3；

（3）∵△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=AE，∠BAE=90°，
∴∠PAE+∠BAG=180°-90°=90°，
又∵∠AEP+∠PAE=90°，
∴∠BAG=∠AEP，
在△ABG和△EAP中，

∠BAG=∠AEP ∠AGB=∠EPA=90° AB=AE

，
∴△ABG≌△EAP（AAS），
同理可证，△ACG≌△FAQ，
∴EP=AG=FQ；

（4）如图4，过R作RH⊥PQ于H，设PH=h，
在Rt△PRH中，PH=

PR2-RH2

=

25-h2

，
在Rt△RQH中，QH=

RQ2-RH2

=

13-h2

，
∴PQ=

25-h2

+

13-h2

=6，

25-h2

=6-

13-h2

，
两边平方得，25-h²=36-12

13-h2

+13-h²，
整理得，

13-h2

=2，
两边平方得，13-h²=4，
解得h=3，
∴S_△PQR=

1

2

×6×3=9，
∴六边形花坛ABCDEF的面积=25+13+36+4×9=74+36=110m²．
故答案为：（1）3.5；（2）3；（4）110．