试题

题目：
青果学院如图，△ABC中∠ACB=90°，点D在CA上，使得CD=1，AD=3，并且∠BDC=3∠BAC，求BC的长．
答案
青果学院解：设BC=x，则BD=
x2+1
，AB=
x2+16
，
如图，作∠ABD平分线BE，则△BDE∽△ADB，因此BD2=DE·DA=3DE．
由角平分线定理可知
DE
AE
=
BD
AB
，
∴
DE
AE+DE
=
BD
AB+BD
，
∴DE=
3BD
AB+BD
．
因此x2+1=
9
x2+1
x2+16
+
x2+1
，
解得BC=x=
4
11
11
．
青果学院解：设BC=x，则BD=
x2+1
，AB=
x2+16
，
如图，作∠ABD平分线BE，则△BDE∽△ADB，因此BD2=DE·DA=3DE．
由角平分线定理可知
DE
AE
=
BD
AB
，
∴
DE
AE+DE
=
BD
AB+BD
，
∴DE=
3BD
AB+BD
．
因此x2+1=
9
x2+1
x2+16
+
x2+1
，
解得BC=x=
4
11
11
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理．
设BC=x，则BD=
x2+1
，AB=
x2+16
，由角平分线定理可知
DE
AE
=
BD
AB
，根据勾股定理即可求得x的值，即可解题．
本题考查了角平分线的性质，相似三角形对应边比值相等的性质，相似三角形的判定，勾股定理在直角三角形中的运用，本题中列出关于x的方程并求x的值是解题的关键．
计算题．
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