试题

题目：
青果学院（2012·岳阳）如图，△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，且AD=
2
3
AB，DF∥BC，E为BD的中点．若EF⊥AC，BC=6，则四边形DBCF的面积为
15
15
．
答案
15

青果学院解：如图，过D点作DG⊥AC，垂足为G，过A点作AH⊥BC，垂足为H，
∵E为BD的中点，且AD=
2
3
AB，
∴可设BE=DE=x，则AD=AF=4x，
∵DG⊥AC，EF⊥AC，
∴DG∥EF，
AE
AF
=
DE
FG
，即
5x
4x
=
x
FG
，解得FG=
4
5
x，
∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，
DF
BC
=
AD
AB
，即
DF
6
=
4x
6x
，
解得DF=4，
又∵DF∥BC，∴∠DFG=∠C，
∴Rt△DFG∽Rt△ACH，
DF
AC
=
FG
CH
，即
4
6x
=
4
5
x
3
，
解得x2=
5
2
，
在Rt△ABH中，由勾股定理，得AH=
AB2-BH2
=
36x2-32
=9，
则S△ABC=
1
2
×BC×AH=
1
2
×6×9=27，
又∵△ADF∽△ABC，∴
S△ADF
S△ABC
=（
DF
BC
）2=
4
9
，
S△ADF=
4
9
×27=12，
∴S四边形DBCF=S△ABC-S△ADF=27-12=15，
故答案为：15．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理．
过D点作DG⊥AC，垂足为G，过A点作AH⊥BC，垂足为H，根据题意设BE=DE=x，则AD=AF=4x，由DG∥EF，利用平行线分线段成比例求FG，由DF∥BC得△ADF∽△ABC，利用相似比求DF，同时可得∠DFG=∠C，易证Rt△DFG∽Rt△ACH，利用相似比求x，在Rt△ABH中，用勾股定理求AH，计算△ABC的面积，由△ADF∽△ABC，利用相似三角形的性质求△ADF的面积，作差求四边形DBCF的面积．
本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理．关键是通过作辅助线，构造相似三角形，利用相似比解题．
压轴题．
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