试题

如图（1），Rt△AOB中，∠A=90°，∠AOB=60°，OB=2

3

，∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点做与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC-CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO-ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．
（1）求OC、BC的长；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．

（1）解：∵∠A=90°，∠AOB=60°，OB=2

3

，
∴∠B=30°，
∴OA=

1

2

OB=

3

，
由勾股定理得：AB=3，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=30°=∠B，
∴OC=BC，
在△AOC中，AO²+AC²=CO²，
∴(

3

)2+（3-OC）²=OC²，
∴OC=2=BC，
答：OC=2，BC=2．

（2）解：①当P在BC上，Q在OC上时，0＜t＜2，
则CP=2-t，CQ=t，
过P作PH⊥OC于H，
∠HCP=60°，
∠HPC=30°，
∴CH=

1

2

CP=

1

2

（2-t），HP=

3

2

（2-t），
∴S_△CPQ=

1

2

CQ×PH=

1

2

×t×

3

2

（2-t），
即S=-

3

4

t²+

3

2

t；
②当t=2时，P在C点，Q在O点，此时，△CPQ不存在，
∴S=0，

③当P在OC上，Q在ON上时2＜t＜4，
过P作PG⊥ON于G，过C作CZ⊥ON于Z，
∵CO=2，∠NOC=60°，
∴CZ=

3

，
CP=t-2，OQ=t-2，
∠NOC=60°，
∴∠GPO=30°，
∴OG=

1

2

OP=

1

2

（4-t），PG=

3

2

（4-t），
∴S_△CPQ=S_△COQ-S_△OPQ=

1

2

×（t-2）×

3

-

1

2

×（t-2）×

3

2

（4-t），
即S=

3

4

t²-

3

t+

3

．
④当t=4时，P在O点，Q在ON上，如图（3）

过C作CM⊥OB于M，CK⊥ON于K，
∵∠B=30°，由（1）知BC=2，
∴CM=

1

2

BC=1，
有勾股定理得：BM=

3

，
∵OB=2

3

，
∴OM=2

3

-

3

=

3

=CK，
∴S=

1

2

PQ×CK=

1

2

×2×

3

=

3

；
综合上述：S与t的函数关系式是：S=

- 3 4 t2+ 3 2 t(0＜t≤2) 3 4 t2- 3 t+ 3 (2＜t≤4)

；
．

（3）解：如图（2），∵ON⊥OB，
∴∠NOB=90°，
∵∠B=30°，∠A=90°，
∴∠AOB=60°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=30°，
∴∠NOC=90°-30°=60°，
①OM=PM时，
∠MOP=∠MPO=30°，
∴∠PQO=180°-∠QOP-∠MPO=90°，
∴OP=2OQ，
∴2（t-2）=4-t，
解得：t=

8

3

，
②PM=OP时，
此时∠PMO=∠MOP=30°，
∴∠MPO=120°，
∵∠QOP=60°，
∴此时不存在；
③OM=OP时，
过P作PG⊥ON于G，
OP=4-t，∠QOP=60°，
∴∠OPG=30°，
∴GO=

1

2

（4-t），PG=

3

2

（4-t），
∵∠AOC=30°，OM=OP，
∴∠OPM=∠OMP=75°，
∴∠PQO=180°-∠QOP-∠QPO=45°，
∴PG=QG=

3

2

（4-t），
∵OG+QG=OQ，
∴

1

2

（4-t）+

3

2

（4-t）=t-2，
解得：t=

6+2 3

3

综合上述：当t为

8

3

或

6+2 3

3

时，△OPM是等腰三角形．
（1）解：∵∠A=90°，∠AOB=60°，OB=2

3

，
∴∠B=30°，
∴OA=

1

2

OB=

3

，
由勾股定理得：AB=3，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=30°=∠B，
∴OC=BC，
在△AOC中，AO²+AC²=CO²，
∴(

3

)2+（3-OC）²=OC²，
∴OC=2=BC，
答：OC=2，BC=2．

（2）解：①当P在BC上，Q在OC上时，0＜t＜2，
则CP=2-t，CQ=t，
过P作PH⊥OC于H，
∠HCP=60°，
∠HPC=30°，
∴CH=

1

2

CP=

1

2

（2-t），HP=

3

2

（2-t），
∴S_△CPQ=

1

2

CQ×PH=

1

2

×t×

3

2

（2-t），
即S=-

3

4

t²+

3

2

t；
②当t=2时，P在C点，Q在O点，此时，△CPQ不存在，
∴S=0，

③当P在OC上，Q在ON上时2＜t＜4，
过P作PG⊥ON于G，过C作CZ⊥ON于Z，
∵CO=2，∠NOC=60°，
∴CZ=

3

，
CP=t-2，OQ=t-2，
∠NOC=60°，
∴∠GPO=30°，
∴OG=

1

2

OP=

1

2

（4-t），PG=

3

2

（4-t），
∴S_△CPQ=S_△COQ-S_△OPQ=

1

2

×（t-2）×

3

-

1

2

×（t-2）×

3

2

（4-t），
即S=

3

4

t²-

3

t+

3

．
④当t=4时，P在O点，Q在ON上，如图（3）

过C作CM⊥OB于M，CK⊥ON于K，
∵∠B=30°，由（1）知BC=2，
∴CM=

1

2

BC=1，
有勾股定理得：BM=

3

，
∵OB=2

3

，
∴OM=2

3

-

3

=

3

=CK，
∴S=

1

2

PQ×CK=

1

2

×2×

3

=

3

；
综合上述：S与t的函数关系式是：S=

- 3 4 t2+ 3 2 t(0＜t≤2) 3 4 t2- 3 t+ 3 (2＜t≤4)

；
．

（3）解：如图（2），∵ON⊥OB，
∴∠NOB=90°，
∵∠B=30°，∠A=90°，
∴∠AOB=60°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=30°，
∴∠NOC=90°-30°=60°，
①OM=PM时，
∠MOP=∠MPO=30°，
∴∠PQO=180°-∠QOP-∠MPO=90°，
∴OP=2OQ，
∴2（t-2）=4-t，
解得：t=

8

3

，
②PM=OP时，
此时∠PMO=∠MOP=30°，
∴∠MPO=120°，
∵∠QOP=60°，
∴此时不存在；
③OM=OP时，
过P作PG⊥ON于G，
OP=4-t，∠QOP=60°，
∴∠OPG=30°，
∴GO=

1

2

（4-t），PG=

3

2

（4-t），
∵∠AOC=30°，OM=OP，
∴∠OPM=∠OMP=75°，
∴∠PQO=180°-∠QOP-∠QPO=45°，
∴PG=QG=

3

2

（4-t），
∵OG+QG=OQ，
∴

1

2

（4-t）+

3

2

（4-t）=t-2，
解得：t=

6+2 3

3

综合上述：当t为

8

3

或

6+2 3

3

时，△OPM是等腰三角形．