试题

运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．
（1）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AC边上的高为h，M是底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h₁、h₂．请用面积法证明：h₁+h₂=h；

（2）当点M在BC延长线上时，h₁、h₂、h之间的等量关系式是；（直接写出结论不必证明）
（3）如图2在平面直角坐标系中有两条直线l₁：y=

3

4

x+3、l₂：y=-3x+3，若l₂上的一点M到l₁的距离是1，请运用（1）、（2）的结论求出点M的坐标．

解：（1）∵S_△ABC=S_△ABM+S_△AMC，S_△ABM=

1

2

×AB×ME=

1

2

×AB×h₁，S_△AMC=

1

2

×AC×MF=

1

2

×AC×h₂，
又∵S_△ABC=

1

2

×AC×BD=

1

2

×AC×hAB=AC，
∴

1

2

×AC×h=

1

2

×AB×h₁+

1

2

×AC×h₂，
∴h₁+h₂=h．

（2）h₁-h₂=h．

（3）在y=

3

4

x+3中，令x=0得y=3；令y=0得x=-4，则：
A（-4，0），B（0，3）同理求得C（1，0），
AB=

OA2+OB2

=5，AC=5，
所以AB=AC，即△ABC为等腰三角形．
①当点M在BC边上时，由h₁+h₂=h得：
1+M_y=OB，M_y=3-1=2，把它代入y=-3x+3中求得：M_x=

1

3

，
∴M（

1

3

，2）；
②当点M在CB延长线上时，由h₁-h₂=h得：M_y-1=OB，M_y=3+1=4，
把它代入y=-3x+3中求得：M_x=-

1

3

，
∴M（-

1

3

，4），
∴点M的坐标为（

1

3

，2）或（-

1

3

，4）．