试题

题目：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随青果学院之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）．
（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；
（2）t为何值时，四边形PQBA是梯形？
（3）是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
答案
解：（1）由题意知CQ=4t，PC=12-3t
∴S△PCQ=
1
2
PC·CQ=-6t2+24t
∵△PCQ与△PDQ关于直线PQ对称
∴y=2S△PCQ=-12t2+48t；

（2）当四边形PQBA是梯形时，PQ∥AB，△PCQ∽△ACB，
则
CP
CA
=
CQ
CB
，即
12-3t
12
=
4t
16
，
解得：t=2；
故t为2秒时，四边形PQBA是梯形；

青果学院（3）设某一时刻t，PD∥AB，延长PD交BC于点M，如图，
若PD∥AB，则∠QMD=∠B，又∵∠QDM=∠C=90°，
∴Rt△QMD∽Rt△ABC
从而
QM
AB
=
QD
AC
，
∵QD=CQ=4t，AC=12，
AB=
122+162
=20，
∴QM=
20
3
t，
∵PD∥AB，
∴∠CPM=∠A，∠PMC=∠B，
∴△PCM∽△ACB，
∴
CP
CA
=
CM
CB
，即
12-3t
12
=
4t+
20
3
t
16
，
解得t=
12
11
．
解：（1）由题意知CQ=4t，PC=12-3t
∴S△PCQ=
1
2
PC·CQ=-6t2+24t
∵△PCQ与△PDQ关于直线PQ对称
∴y=2S△PCQ=-12t2+48t；

（2）当四边形PQBA是梯形时，PQ∥AB，△PCQ∽△ACB，
则
CP
CA
=
CQ
CB
，即
12-3t
12
=
4t
16
，
解得：t=2；
故t为2秒时，四边形PQBA是梯形；

青果学院（3）设某一时刻t，PD∥AB，延长PD交BC于点M，如图，
若PD∥AB，则∠QMD=∠B，又∵∠QDM=∠C=90°，
∴Rt△QMD∽Rt△ABC
从而
QM
AB
=
QD
AC
，
∵QD=CQ=4t，AC=12，
AB=
122+162
=20，
∴QM=
20
3
t，
∵PD∥AB，
∴∠CPM=∠A，∠PMC=∠B，
∴△PCM∽△ACB，
∴
CP
CA
=
CM
CB
，即
12-3t
12
=
4t+
20
3
t
16
，
解得t=
12
11
．
考点梳理
相似形综合题；勾股定理；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质．
（1）根据折叠的性质可知：四边形PCQD的面积是△PCQ面积的2倍，因此只要求出△PCQ的面积即可得出四边形PCQD的面积．可根据P、Q的速度用时间t表示出PC和CQ的长，然后根据三角形的面积公式即可得出△PCQ的面积表达式，也就能求出y，t的函数关系式．
（2）当四边形PQBA是梯形时，PQ∥AB，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于PC，AC，CQ，CB的比例关系式，根据这个等量关系即可求出t的值；
（3）若PD∥AB，延长PD交BC于点M．在直角三角形ABC中利用勾股定理求得AB=20；易证明Rt△QMD∽Rt△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例求得QM=
20
3
t，再由CQ+QM表示出CM，由PD与AB平行，根据两直线平行得到两对同位角相等，从而得出三角形PCM与三角形ABC相似，由相似得比例，把CM，CP，CA及CB的长代入列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值．
此题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，以及勾股定理，本题是一道动态几何题，综合性较强，区分度较大，有一定的难度．锻炼了学生利用关系式求值的运算技能和从情景中提取信息、解释信息、解决问题的能力，同时运用的数学思想主要是数学建模思想．本题的第三问计算量比较大，其中确定出PD∥AB时t的值是解题的关键．
代数几何综合题；压轴题；动点型．
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