试题

题目：
青果学院如图，AB∥CD，∠ACB=∠BDC=Rt∠，CE⊥AB于点E，DF⊥CB于点F．
（1）求证：△ABC∽△BCD；
（2）已知tan∠ABC=2，求
DF
CE
的值．
答案
青果学院（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD，
又∵∠ACB=∠BDC=Rt∠，
∴△ABC∽△BCD；

（2）解：∵tan∠ABC=2，
∴可设AC=2k，则BC=k．
∵∠ACB=Rt∠，
∴AB2=AC2+BC2=5k2，
∴AB=
5
k．
∵△ABC∽△BCD，
∴∠BAC=∠CBD，∠ACB=∠BDC=90°，
∴sin∠BAC=sin∠CBD，
∵CE⊥AB于点E，DF⊥CB于点F，
∴
DF
CE
=
DF
BD
=
BC
AB
=
k
5
k
=
5
5
．
青果学院（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD，
又∵∠ACB=∠BDC=Rt∠，
∴△ABC∽△BCD；

（2）解：∵tan∠ABC=2，
∴可设AC=2k，则BC=k．
∵∠ACB=Rt∠，
∴AB2=AC2+BC2=5k2，
∴AB=
5
k．
∵△ABC∽△BCD，
∴∠BAC=∠CBD，∠ACB=∠BDC=90°，
∴sin∠BAC=sin∠CBD，
∵CE⊥AB于点E，DF⊥CB于点F，
∴
DF
CE
=
DF
BD
=
BC
AB
=
k
5
k
=
5
5
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；勾股定理．
（1）先由平行线的性质得出∠ABC=∠BCD，再根据两角对应相等的两三角形相似证明△ABC∽△BCD；
（2）先由tan∠ABC=2，在直角△ABC中根据正切函数的定义设AC=2k，则BC=k，根据勾股定理求出AB=
5
k，再由△ABC∽△BCD，根据相似三角形对应角相等得出∠BAC=∠CBD，则sin∠BAC=sin∠CBD，然后根据CE=BD及正弦函数的定义列出比例式，即可求出
DF
CE
的值．
本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数的定义，难度适中，证明出△ABC∽△BCD是解题的关键．
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