试题

题目：
青果学院△ABC是等边三角形，D，E是AB，BC边上的点，BD=CE，
（1）求证：AE=CD   
（2）若AH⊥CD，AG=20cm，求HG的长．
答案
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴青果学院BC=AC，∠B=∠ACE=60°，
又∵BD=CE，
∴△BDC≌△CEA，
∴AE=CD；

（2）∵△BDC≌△CEA，
∴∠EAC=∠DCB．
∵∠AGH=∠EAC+∠ACG=∠BCD+∠ACG
∴∠AGH=60°，
∵COS∠AGH=COS60°=
1
2
=
HG
AG
，且AG=20，
∴
HG
20
=
1
2
，
∴HG=10．
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴青果学院BC=AC，∠B=∠ACE=60°，
又∵BD=CE，
∴△BDC≌△CEA，
∴AE=CD；

（2）∵△BDC≌△CEA，
∴∠EAC=∠DCB．
∵∠AGH=∠EAC+∠ACG=∠BCD+∠ACG
∴∠AGH=60°，
∵COS∠AGH=COS60°=
1
2
=
HG
AG
，且AG=20，
∴
HG
20
=
1
2
，
∴HG=10．
考点梳理
等边三角形的性质；垂线；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
（1）根据等边三角形的性质可以证明△BDC≌△CEA，从而可以得到AE=CD．
（2）利用△BDC≌△CEA可得出∠EAC=∠DCB，利用外角与内角的关系可以得出∠AGH=60°，再利用余弦值就可以求出HG的值．
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形外角与内角的关系，锐角三角函数的运用．
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