试题

学完第2章“特殊的三角形”后，老师布置了一道思考题：已知正△ABC，点M、N分别在BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．
（1）试求出图1中∠BQM的度数；
（2）若将题中的点M、N改为在正△ABC的边BC，CA的延长线上（如图2），且BM=CN，若∠QBM=90°，正△ABC的边长为1，试求出BQ的长．

解：（1）∵正△ABC，
∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC=AC，
∵BM=CN，
∴在△ABM和△BCN中，

AB=BC ∠ABC=∠C BM=CN

，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠CBN=∠BAM，
∵∠BQM=∠BAM+∠ABN，
∴∠BQM=∠CBN+∠ABN，
∴∠BQM=60°，

（2）∵正△ABC，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∵∠QBM=90°，
∴∠1=∠3=30°，
∵正△ABC，
∴BA=CB，∠ABM=∠BCN，
∵BM=CN，
∴在△ABM和△BCN中，

AB=BC ∠ABM=BCN BM=CN

，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠QBM=90°，
∴∠BAQ=90°，
∴AQ=

1

2

BQ，
∵正△ABC的边长为1，
∴AQ²+1=BQ²，
∴BQ²=

4

3

，
∴BQ=

2

3

3

．
解：（1）∵正△ABC，
∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC=AC，
∵BM=CN，
∴在△ABM和△BCN中，

AB=BC ∠ABC=∠C BM=CN

，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠CBN=∠BAM，
∵∠BQM=∠BAM+∠ABN，
∴∠BQM=∠CBN+∠ABN，
∴∠BQM=60°，

（2）∵正△ABC，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∵∠QBM=90°，
∴∠1=∠3=30°，
∵正△ABC，
∴BA=CB，∠ABM=∠BCN，
∵BM=CN，
∴在△ABM和△BCN中，

AB=BC ∠ABM=BCN BM=CN

，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠QBM=90°，
∴∠BAQ=90°，
∴AQ=

1

2

BQ，
∵正△ABC的边长为1，
∴AQ²+1=BQ²，
∴BQ²=

4

3

，
∴BQ=

2

3

3

．