试题

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°．在AB的同侧分别以AB、BC、AC为直径作三个半圆．图中阴影部分的面积分别记作为S₁和S₂．
（1）求证：S₁+S₂=S_△ABC；
（2）若Rt△ABC的周长是2+

6

，斜边长为2，求图中阴影部分面积的和．

解：（1）在Rt△ABC中，有BC²+AC²=AB²…（1分）
∴S₁+S₂=

1

2

π（

1

2

AC）²+

1

2

π（

1

2

BC）²-

1

2

π（

1

2

AB）²+S_△ABC
=

1

8

π（BC²+AC²-AB²）+S_△ABC=S_△ABC．…（4分）
（2）∵AB+AC+BC=2+

6

，AB=2，
∴AC+BC=

6

．…（5分）
两边平方得：AC²+BC²+2AC·BC=6，
又AC²+BC²=AB²=4，
∴2AC·BC=2，AC·BC=1．
∴S_△ABC=

1

2

AC·BC=

1

2

．
∴图中阴影部分面积的和为

1

2

．…（8分）
解：（1）在Rt△ABC中，有BC²+AC²=AB²…（1分）
∴S₁+S₂=

1

2

π（

1

2

AC）²+

1

2

π（

1

2

BC）²-

1

2

π（

1

2

AB）²+S_△ABC
=

1

8

π（BC²+AC²-AB²）+S_△ABC=S_△ABC．…（4分）
（2）∵AB+AC+BC=2+

6

，AB=2，
∴AC+BC=

6

．…（5分）
两边平方得：AC²+BC²+2AC·BC=6，
又AC²+BC²=AB²=4，
∴2AC·BC=2，AC·BC=1．
∴S_△ABC=

1

2

AC·BC=

1

2

．
∴图中阴影部分面积的和为

1

2

．…（8分）