试题

问题背景：“在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为

5

、

10

、

13

，求这个三角形的面积．”
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网络中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），
（1）如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积是．
（2）如图我们把上述求面积的方法叫做构图法．若△DCE三边的长分别为

m2+16n2

、

9m2+4n2

、

4m2+4n2

（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．

解：（1）如图1所示，可得出四边形MNCP为正方形，△ABM、△ANC及△PBC都为直角三角形，
∴S_△ABC=S_{正方形MNPC}-S_△ABM-S_△ANC-S_△PBC=3×3-

1

2

×2×1-

1

2

×2×3-

1

2

×1×3=9-1-3-1.5=3.5；
（2）如图所示，网格由边长分别为m与n的小长方形构成，
在Rt△DEF中，EF=m，DE=4n，
根据勾股定理得：DF=

DE2+EF2

=

m2+16n2

，
在Rt△DKH中，DK=3m，KH=2n，
根据勾股定理得：DH=

DK2+KH2

=

9m2+4n2

，
在Rt△FGH中，FG=2m，HG=2n，
根据勾股定理得：HF=

FG2+HG2

=

4m2+4n2

，
∴S_△DFH=S_矩形DEGK-S_△DEF-S_△DKH-S_△FGH=12mn-

1

2

×m×4n-

1

2

×3m×2n-

1

2

×2m×2n=5mn．
故答案为：（1）3.5